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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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sind; den einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbei-
teten, wird eine solche methodische Auffassung nicht fern
gelegen haben.

Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken
Radien und der projectivischen ergibt sich, sowie einmal
die Frage nach einem Vergleiche vorhanden ist, von selbst,
und es mag daher nur ganz im Allgemeinen auf die fol-
genden Puncte aufmerksam gemacht werden:

In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade,
Ebene die Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur
specielle Fälle von Kegelschnitt und Fläche zweiten Gra-
des. Das unendlich Ferne der elementaren Geometrie er-
scheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf welches
sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich
ferner, imaginärer Kegelschnitt.

In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct,
Kreis und Kugel die Elementarbegriffe. Gerade und Ebene
sind specielle Fälle der letzteren, dadurch charakterisirt,
dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens nicht weiter
ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct ent-
halten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man
diesen Punct fest denkt.

Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Ein-
kleidung fähig, welche sie neben die Theorie der binären
Formen und die Liniengeometrie stellt, falls man die letz-
teren in der Weise behandelt, wie das im vorigen Para-
graphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke
die Betrachtung zunächst auf ebene Geometrie und also
auf Geometrie der reciproken Radien in der Ebene 1) be-
schränken.

Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der
zwischen der elementaren Geometrie der Ebene und der
projectivischen Geometrie der mit einem ausgezeichneten

1) Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der
projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die bez.
Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der Geo-
metrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von
vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.

sind; den einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbei-
teten, wird eine solche methodische Auffassung nicht fern
gelegen haben.

Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken
Radien und der projectivischen ergibt sich, sowie einmal
die Frage nach einem Vergleiche vorhanden ist, von selbst,
und es mag daher nur ganz im Allgemeinen auf die fol-
genden Puncte aufmerksam gemacht werden:

In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade,
Ebene die Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur
specielle Fälle von Kegelschnitt und Fläche zweiten Gra-
des. Das unendlich Ferne der elementaren Geometrie er-
scheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf welches
sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich
ferner, imaginärer Kegelschnitt.

In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct,
Kreis und Kugel die Elementarbegriffe. Gerade und Ebene
sind specielle Fälle der letzteren, dadurch charakterisirt,
dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens nicht weiter
ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct ent-
halten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man
diesen Punct fest denkt.

Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Ein-
kleidung fähig, welche sie neben die Theorie der binären
Formen und die Liniengeometrie stellt, falls man die letz-
teren in der Weise behandelt, wie das im vorigen Para-
graphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke
die Betrachtung zunächst auf ebene Geometrie und also
auf Geometrie der reciproken Radien in der Ebene 1) be-
schränken.

Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der
zwischen der elementaren Geometrie der Ebene und der
projectivischen Geometrie der mit einem ausgezeichneten

1) Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der
projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die bez.
Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der Geo-
metrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von
vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.
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[21/0029] sind; den einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbei- teten, wird eine solche methodische Auffassung nicht fern gelegen haben. Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien und der projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach einem Vergleiche vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur ganz im Allgemeinen auf die fol- genden Puncte aufmerksam gemacht werden: In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von Kegelschnitt und Fläche zweiten Gra- des. Das unendlich Ferne der elementaren Geometrie er- scheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf welches sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich ferner, imaginärer Kegelschnitt. In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und Kugel die Elementarbegriffe. Gerade und Ebene sind specielle Fälle der letzteren, dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens nicht weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct ent- halten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man diesen Punct fest denkt. Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Ein- kleidung fähig, welche sie neben die Theorie der binären Formen und die Liniengeometrie stellt, falls man die letz- teren in der Weise behandelt, wie das im vorigen Para- graphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke die Betrachtung zunächst auf ebene Geometrie und also auf Geometrie der reciproken Radien in der Ebene 1) be- schränken. Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der zwischen der elementaren Geometrie der Ebene und der projectivischen Geometrie der mit einem ausgezeichneten 1) Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der Geo- metrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/29>, abgerufen am 24.04.2024.