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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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mathematische Probleme.

Die angedeuteten Entwickelungen lassen sich, ohne daß eine
weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr ge-
suchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehr-
fachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall
des über ein gegebenes Gebiet o zu erstreckenden Doppelintegrals
[Formel 1] das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten
Variation
dJ = 0
für die gesuchte Funktion z von x, y die bekannte Differential-
gleichung zweiter Ordnung
(I) [Formel 2]
Andererseits betrachten wir das Integral
[Formel 3] [Formel 4] und fragen, wie darin p und q als Funktionen von
x, y, z zu nehmen sind, damit der Wert dieses Inte-
grals von der Wahl der durch die gegebene geschlos-
sene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl
der Funktion z der Variabeln x, y unabhängig wird.
Das Integral J* hat die Form
[Formel 5] und das Verschwinden der ersten Variation
dJ* = 0
in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die
Gleichung
[Formel 6] d. h. wir erhalten für die Funktionen p und q der drei Variabeln
x, y, z die Differentialgleichung erster Ordnung
(I*) [Formel 7]

mathematische Probleme.

Die angedeuteten Entwickelungen lassen sich, ohne daß eine
weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr ge-
suchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehr-
fachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall
des über ein gegebenes Gebiet ω zu erstreckenden Doppelintegrals
[Formel 1] das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten
Variation
δJ = 0
für die gesuchte Funktion z von x, y die bekannte Differential-
gleichung zweiter Ordnung
(I) [Formel 2]
Andererseits betrachten wir das Integral
[Formel 3] [Formel 4] und fragen, wie darin p und q als Funktionen von
x, y, z zu nehmen sind, damit der Wert dieses Inte-
grals von der Wahl der durch die gegebene geschlos-
sene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl
der Funktion z der Variabeln x, y unabhängig wird.
Das Integral J* hat die Form
[Formel 5] und das Verschwinden der ersten Variation
δJ* = 0
in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die
Gleichung
[Formel 6] d. h. wir erhalten für die Funktionen p und q der drei Variabeln
x, y, z die Differentialgleichung erster Ordnung
(I*) [Formel 7] 

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[295/0051] mathematische Probleme. Die angedeuteten Entwickelungen lassen sich, ohne daß eine weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr ge- suchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehr- fachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall des über ein gegebenes Gebiet ω zu erstreckenden Doppelintegrals [FORMEL] das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten Variation δJ = 0 für die gesuchte Funktion z von x, y die bekannte Differential- gleichung zweiter Ordnung (I) [FORMEL] Andererseits betrachten wir das Integral [FORMEL] [FORMEL] und fragen, wie darin p und q als Funktionen von x, y, z zu nehmen sind, damit der Wert dieses Inte- grals von der Wahl der durch die gegebene geschlos- sene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl der Funktion z der Variabeln x, y unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form [FORMEL] und das Verschwinden der ersten Variation δJ* = 0 in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung [FORMEL] d. h. wir erhalten für die Funktionen p und q der drei Variabeln x, y, z die Differentialgleichung erster Ordnung (I*) [FORMEL]

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 295. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/51>, abgerufen am 02.05.2024.