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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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mathematische Probleme.
von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte und
der im wesentlichen aequivalente Satz von Euklid über die
Seiten eines Dreiecks nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch
in der Theorie der Flächen und in der Variationsrechnung spielt,
und da ich glaube, daß die eingehendere Untersuchung der Bedin-
gungen für die Gültigkeit dieses Satzes ebenso auf den Begriff
der Entfernung wie auch noch auf andere elementaren Begriffe
z. B. den Begriff der Ebene und die Möglichkeit ihrer Definition
mittelst des Begriffes der Geraden ein neues Licht werfen wird,
so erscheint mir die Aufstellung und systematische Behandlung der
hier möglichen Geometrieen wünschenswert.

Im Fall der Ebene und unter Zugrundelegung des Stetigkeits-
axioms führt das genannte Problem auf die von Darboux 1) be-
handelte Frage, alle Variationsprobleme in der Ebene zu finden,
für welche sämtliche Geraden der Ebene die Lösungen sind
-- eine Fragestellung, die mir weitgehender Verallgemeinerungen 2)
fähig und würdig erscheint.

5. Lie's Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme
der Differenzirbarkeit der die Gruppe definirenden Functionen.

Lie hat bekanntlich mit Hinzuziehung des Begriffs der con-
tinuirlichen Transformationsgruppe ein System von Axiomen für
die Geometrie aufgestellt und auf Grund seiner Theorie der Trans-
formationsgruppen bewiesen, daß dieses System von Axiomen zum
Aufbau der Geometrie hinreicht. Da Lie jedoch bei Begründung
seiner Theorie stets annimmt, daß die die Gruppe definirenden
Functionen differenzirt werden können, so bleibt in den
Lieschen Entwickelungen unerörtert, ob die Annahme der Diffe-
renzirbarkeit bei der Frage nach den Axiomen der Geometrie
thatsächlich unvermeidlich ist oder nicht vielmehr als eine Folge
des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome er-
scheint. Diese Ueberlegung, sowie auch gewisse Probleme hin-
sichtlich der arithmetischen Axiome legen uns die allgemeinere
Frage nahe, in wieweit der Liesche Begriff der continuirlichen
Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzirbarkeit der
Functionen unserer Untersuchung zugänglich ist.

Bekanntlich definirt Lie die endliche continuirliche Trans-
formationsgruppe als ein System von Transformationen
[Formel 1]

1) Lecons sur la theorie generale des surfaces. Bd. 3, Paris 1894, S. 54.
2) Vgl. die interessanten Untersuchungen von A. Hirsch, Mathematische
Annalen, Bd. 49 und 50.

mathematische Probleme.
von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte und
der im wesentlichen aequivalente Satz von Euklid über die
Seiten eines Dreiecks nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch
in der Theorie der Flächen und in der Variationsrechnung spielt,
und da ich glaube, daß die eingehendere Untersuchung der Bedin-
gungen für die Gültigkeit dieses Satzes ebenso auf den Begriff
der Entfernung wie auch noch auf andere elementaren Begriffe
z. B. den Begriff der Ebene und die Möglichkeit ihrer Definition
mittelst des Begriffes der Geraden ein neues Licht werfen wird,
so erscheint mir die Aufstellung und systematische Behandlung der
hier möglichen Geometrieen wünschenswert.

Im Fall der Ebene und unter Zugrundelegung des Stetigkeits-
axioms führt das genannte Problem auf die von Darboux 1) be-
handelte Frage, alle Variationsprobleme in der Ebene zu finden,
für welche sämtliche Geraden der Ebene die Lösungen sind
— eine Fragestellung, die mir weitgehender Verallgemeinerungen 2)
fähig und würdig erscheint.

5. Lie’s Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme
der Differenzirbarkeit der die Gruppe definirenden Functionen.

Lie hat bekanntlich mit Hinzuziehung des Begriffs der con-
tinuirlichen Transformationsgruppe ein System von Axiomen für
die Geometrie aufgestellt und auf Grund seiner Theorie der Trans-
formationsgruppen bewiesen, daß dieses System von Axiomen zum
Aufbau der Geometrie hinreicht. Da Lie jedoch bei Begründung
seiner Theorie stets annimmt, daß die die Gruppe definirenden
Functionen differenzirt werden können, so bleibt in den
Lieschen Entwickelungen unerörtert, ob die Annahme der Diffe-
renzirbarkeit bei der Frage nach den Axiomen der Geometrie
thatsächlich unvermeidlich ist oder nicht vielmehr als eine Folge
des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome er-
scheint. Diese Ueberlegung, sowie auch gewisse Probleme hin-
sichtlich der arithmetischen Axiome legen uns die allgemeinere
Frage nahe, in wieweit der Liesche Begriff der continuirlichen
Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzirbarkeit der
Functionen unserer Untersuchung zugänglich ist.

Bekanntlich definirt Lie die endliche continuirliche Trans-
formationsgruppe als ein System von Transformationen
[Formel 1]

1) Leçons sur la théorie générale des surfaces. Bd. 3, Paris 1894, S. 54.
2) Vgl. die interessanten Untersuchungen von A. Hirsch, Mathematische
Annalen, Bd. 49 und 50.
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[269/0025] mathematische Probleme. von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte und der im wesentlichen aequivalente Satz von Euklid über die Seiten eines Dreiecks nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch in der Theorie der Flächen und in der Variationsrechnung spielt, und da ich glaube, daß die eingehendere Untersuchung der Bedin- gungen für die Gültigkeit dieses Satzes ebenso auf den Begriff der Entfernung wie auch noch auf andere elementaren Begriffe z. B. den Begriff der Ebene und die Möglichkeit ihrer Definition mittelst des Begriffes der Geraden ein neues Licht werfen wird, so erscheint mir die Aufstellung und systematische Behandlung der hier möglichen Geometrieen wünschenswert. Im Fall der Ebene und unter Zugrundelegung des Stetigkeits- axioms führt das genannte Problem auf die von Darboux 1) be- handelte Frage, alle Variationsprobleme in der Ebene zu finden, für welche sämtliche Geraden der Ebene die Lösungen sind — eine Fragestellung, die mir weitgehender Verallgemeinerungen 2) fähig und würdig erscheint. 5. Lie’s Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzirbarkeit der die Gruppe definirenden Functionen. Lie hat bekanntlich mit Hinzuziehung des Begriffs der con- tinuirlichen Transformationsgruppe ein System von Axiomen für die Geometrie aufgestellt und auf Grund seiner Theorie der Trans- formationsgruppen bewiesen, daß dieses System von Axiomen zum Aufbau der Geometrie hinreicht. Da Lie jedoch bei Begründung seiner Theorie stets annimmt, daß die die Gruppe definirenden Functionen differenzirt werden können, so bleibt in den Lieschen Entwickelungen unerörtert, ob die Annahme der Diffe- renzirbarkeit bei der Frage nach den Axiomen der Geometrie thatsächlich unvermeidlich ist oder nicht vielmehr als eine Folge des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome er- scheint. Diese Ueberlegung, sowie auch gewisse Probleme hin- sichtlich der arithmetischen Axiome legen uns die allgemeinere Frage nahe, in wieweit der Liesche Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzirbarkeit der Functionen unserer Untersuchung zugänglich ist. Bekanntlich definirt Lie die endliche continuirliche Trans- formationsgruppe als ein System von Transformationen [FORMEL] 1) Leçons sur la théorie générale des surfaces. Bd. 3, Paris 1894, S. 54. 2) Vgl. die interessanten Untersuchungen von A. Hirsch, Mathematische Annalen, Bd. 49 und 50.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 269. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/25>, abgerufen am 19.04.2024.