Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. worin unter dem Integralzeichen x einen constanten Werth behält. Darausfolgt zunächst: (24a.) Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in den Functionen Ph, Pi und Pl (s. (22.) und (20a.)), aus denen Psi zusammen- gesetzt ist, k = 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18e.) in der Nähe der Mündung auf und wir erhalten also (24b.) aus (24a.) und (24b.) folgt, dass die Function kh der Bedingung genügt: (22a.) und dass in einer durch die x - Axe gelegten Ebene die Curven rkh = Const. orthogonal sind zu den Curven Psi = Const., erstere also Stromescurven sind. Wenn wir in die Gleichung (24.) für Psi setzen: (25a.) Da sich Ph hier reducirt aufHelmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. worin unter dem Integralzeichen x einen constanten Werth behält. Darausfolgt zunächst: (24a.) Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in den Functionen Φ, Pi und Pl (s. (22.) und (20a.)), aus denen Ψi zusammen- gesetzt ist, k = 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18e.) in der Nähe der Mündung auf und wir erhalten also (24b.) aus (24a.) und (24b.) folgt, daſs die Function χ der Bedingung genügt: (22a.) und daſs in einer durch die x - Axe gelegten Ebene die Curven ϱχ = Const. orthogonal sind zu den Curven Ψi = Const., erstere also Stromescurven sind. Wenn wir in die Gleichung (24.) für Ψi setzen: (25a.) Da sich Φ hier reducirt auf<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0068" n="58"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> worin unter dem Integralzeichen <hi rendition="#i">x</hi> einen constanten Werth behält. Daraus<lb/> folgt zunächst:<lb/> (24<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\frac{d}{d\rho}(\rho\chi) = \rho\frac{d\Psi_i}{dx}</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\frac{d}{dx}(\rho\chi) = \int_0^\rho\frac{d^2\Psi_i}{dx^2}\rho d\rho</formula>.<lb/> Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in<lb/> den Functionen Φ, <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">P</hi><hi rendition="#sub">i</hi></hi> und <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">P</hi><hi rendition="#sub">l</hi></hi> (s. (22.) und (20<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.)), aus denen Ψ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i</hi></hi> zusammen-<lb/> gesetzt ist, <hi rendition="#i">k</hi> = 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">e</hi></hi>.) in der<lb/> Nähe der Mündung auf<lb/><formula notation="TeX">\frac{d^2\Psi_i}{dx^2} = -\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}-\frac{1}{\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho}</formula>,<lb/> und wir erhalten also<lb/><formula notation="TeX">\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\int_0^\rho\left(\rho\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}+\frac{d\Psi_i}{d\rho}\right)d\rho</formula>,<lb/> (24<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\rho\frac{d\Psi_i}{d\rho}</formula>;<lb/> aus (24<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) und (24<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) folgt, daſs die Function χ der Bedingung genügt:<lb/> (22<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\frac{d(\chi\rho)}{d\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho} + \frac{d(\chi\rho)}{dx}\frac{d\Psi_i}{dx} = 0</formula>,<lb/> und daſs in einer durch die <hi rendition="#i">x</hi> - Axe gelegten Ebene die Curven<lb/><hi rendition="#c">ϱχ = Const.</hi><lb/> orthogonal sind zu den Curven<lb/><hi rendition="#c">Ψ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i</hi></hi> = Const.,</hi><lb/> erstere also Stromescurven sind.</p><lb/> <p>Wenn wir in die Gleichung (24.) für Ψ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i</hi></hi> setzen:<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi_i = \Phi + P_i - P_l</formula>,<lb/> so können wir auch χ ähnlich zerfällen<lb/> (25.) <formula notation="TeX">\chi = \chi_0 + \chi_\prime - \chi_{\prime\prime}</formula>,<lb/><list><item>(25<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <list rendition="#leftBraced"><item><formula notation="TeX">\rho\chi_0 = \int_0^\rho\frac{d\Phi}{dx}\rho d\rho</formula>,</item><lb/><item><formula notation="TeX">\rho\chi_\prime = \int_0^\rho\frac{dP_i}{dx}\rho d\rho</formula>,</item><lb/><item><formula notation="TeX">\rho\chi_{\prime\prime} = \int_0^\rho\frac{dP_l}{dx}\rho d\rho</formula>.</item></list></item></list><lb/> Da sich Φ hier reducirt auf<lb/><formula notation="TeX">\Phi = Ax + B</formula>,<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [58/0068]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
worin unter dem Integralzeichen x einen constanten Werth behält. Daraus
folgt zunächst:
(24a.) [FORMEL],
[FORMEL].
Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in
den Functionen Φ, Pi und Pl (s. (22.) und (20a.)), aus denen Ψi zusammen-
gesetzt ist, k = 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18e.) in der
Nähe der Mündung auf
[FORMEL],
und wir erhalten also
[FORMEL],
(24b.) [FORMEL];
aus (24a.) und (24b.) folgt, daſs die Function χ der Bedingung genügt:
(22a.) [FORMEL],
und daſs in einer durch die x - Axe gelegten Ebene die Curven
ϱχ = Const.
orthogonal sind zu den Curven
Ψi = Const.,
erstere also Stromescurven sind.
Wenn wir in die Gleichung (24.) für Ψi setzen:
(21d.) [FORMEL],
so können wir auch χ ähnlich zerfällen
(25.) [FORMEL],
(25a.) [FORMEL],
[FORMEL],
[FORMEL].
Da sich Φ hier reducirt auf
[FORMEL],
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Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 58. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/68>, abgerufen am 25.07.2024. |