Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

so wird nach (21^a.)
(23^a.) $i = -\frac{A}{4\pi}$, $\int id\omega = -\tfrac{1}{4}AR^2$
und in der Ebene der Mündung nach (21^b.)
(23^b.) $\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}B$,
woraus nach bekannten Sätzen über Electricitätsvertheilung auf einer leiten-
den Kreisscheibe folgt, daſs
(23^c.) $l = \frac{B}{2\pi^2\sqrt{R^2-\rho^2}}$, $\int ld\omega = \frac{BR}{\pi}$.
Somit folgt aus Gleichung (22^b.)
(23^d.) $AR^2_1 = \tfrac{1}{2}AR^2-\frac{2}{\pi}BR$.
Den Unterschied α der wahren und reducirten Röhrenlänge haben wir oben
(12^a.) definirt durch die Gleichung:
(12^f.) $-\frac{kB}{A} = \operatorname{tang}k\alpha$.
Da kα eine sehr kleine Gröſse ist, so oft das Verhältniſs R₁ : R endlich ist,
können wir in diesem Falle annähernd setzen:
(23^e.) $\alpha = -\frac{B}{A} = \frac{\pi}{2}\frac{R^2_1}{R}-\frac{\pi}{4}R$,
wodurch für die hier in Betracht kommenden Röhrenformen der Unterschied
zwischen wahrer und reducirter Länge gegeben ist, wenn die Radien des
Cylinders und seiner Mündung bestimmt sind. Die reducirte Länge der Pfeife
ist gleich der wahren, also α = B = 0, wenn $R = R_1\sqrt{2}$.

Wenn die Mündung ebenso weit ist wie der Cylinder, also R = R₁,
wird $\alpha = \frac{\pi}{4}R$ und $B = -\frac{\pi}{4}RA$. Wenn R sehr klein gegen R₁ ist, wird
annähernd
$\frac{B}{A} = -\frac{\pi R^2_1}{2R} = -\frac{Q}{2R}$,
wie es schon oben für diesen Fall in (12ⁱ.) gefunden ist. Unter diesen Um-
ständen kann natürlich nicht die abgekürzte Form (23^e.) für die Gleichung (12^f.)
angewendet werden.

Die Bedeutung der Function χ der Gleichung (22^a.), welche zur Be-
stimmung der Strömungscurven dient, setzen wir durch folgende Gleichung fest:
(24.) $\rho\chi = \int_0^\rho\frac{d\Psi_i}{dx}\rho d\rho$,

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 8