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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Dies Verhältniss wird, wie aus (15.) hervorgeht, ein Maximum, wenn
.

Daraus folgt also, dass auch bei einer beliebigen Lage des tönenden
Punktes die ebenen Wellen im Innern der Röhre, wenn dergleichen über-
haupt entstehen, das Maximum ihrer Intensität erreichen, wenn die Länge
der Röhre ein ungerades Vielfaches der Viertelwellenlänge ist.

Die ebenen Wellen im Innern einer an beiden Seiten offenen Röhre
lassen sich mittelst der aufgestellten Probleme behandeln, wenn die Mündungen
der Röhre nach der von uns gemachten Annahme in zwei parallelen festen
Ebenen liegen, die den Luftraum in zwei Theile trennen, und der Schall auf
der einen Seite von einem weit entfernten tönenden Punkte ausgeht. Auf der
einen Seite dieser Wand setzt man das Geschwindigkeitspotential gleich der in
den Gleichungen (10.) bis (12.) gebrauchten Function Ps, auf der anderen
Seite gleich der in den Gleichungen (16.) bis (16e.) vorkommenden Form
Ph + Ps, welche der Resonanz einer Röhre entspricht, in welche der Schall
von der offenen Mündung eintritt. Man hat dann nur die Coefficienten der
ebenen Wellen in der Röhre in diesen beiden Ausdrücken des Geschwindig-
keitspotentials so zu bestimmen, dass hier beide Functionen identisch werden.
Da das weiter keine Schwierigkeiten macht, möge das Gesagte genügen. Die
Resonanz in der Röhre wird am stärksten, wenn die reducirte Länge der
Röhre, an welcher man die Correctionen für beide Mündungen anzubringen
hat, ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist.

§. 8.

Wir wollen schliesslich noch eine Reihe von Röhrenformen aufsuchen,
für welche mit den bis jetzt bereiten Hülfsmitteln der Analysis sich die Luft-
bewegung in der Mündung und die reducirte Länge vollständig wenigstens
für Schallwellen von so grosser Wellenlänge bestimmen lässt, dass gegen diese
die Dimensionen der Röhrenöffnung ihres Querschnitts und des von der Cy-
lindergestalt abweichenden Theiles der Mündung verschwinden. Die Wand
der Röhre sei übrigens eine Rotationsfläche, welche in kleiner Entfernung
von der kreisförmigen Mündung, deren Radius R sei, übergeht in einen Cy-
linder von kreisförmigem Querschnitt, dessen Radius wir R1 nennen wollen.
Wir setzen ferner voraus, dass auch die Bewegung der Luft überall sym-
metrisch um die Axe der Röhre vor sich gehe. Wir können nun im All-

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Dies Verhältniſs wird, wie aus (15.) hervorgeht, ein Maximum, wenn
.

Daraus folgt also, daſs auch bei einer beliebigen Lage des tönenden
Punktes die ebenen Wellen im Innern der Röhre, wenn dergleichen über-
haupt entstehen, das Maximum ihrer Intensität erreichen, wenn die Länge
der Röhre ein ungerades Vielfaches der Viertelwellenlänge ist.

Die ebenen Wellen im Innern einer an beiden Seiten offenen Röhre
lassen sich mittelst der aufgestellten Probleme behandeln, wenn die Mündungen
der Röhre nach der von uns gemachten Annahme in zwei parallelen festen
Ebenen liegen, die den Luftraum in zwei Theile trennen, und der Schall auf
der einen Seite von einem weit entfernten tönenden Punkte ausgeht. Auf der
einen Seite dieser Wand setzt man das Geschwindigkeitspotential gleich der in
den Gleichungen (10.) bis (12.) gebrauchten Function Ψ, auf der anderen
Seite gleich der in den Gleichungen (16.) bis (16e.) vorkommenden Form
Φ + Ψ, welche der Resonanz einer Röhre entspricht, in welche der Schall
von der offenen Mündung eintritt. Man hat dann nur die Coefficienten der
ebenen Wellen in der Röhre in diesen beiden Ausdrücken des Geschwindig-
keitspotentials so zu bestimmen, daſs hier beide Functionen identisch werden.
Da das weiter keine Schwierigkeiten macht, möge das Gesagte genügen. Die
Resonanz in der Röhre wird am stärksten, wenn die reducirte Länge der
Röhre, an welcher man die Correctionen für beide Mündungen anzubringen
hat, ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist.

§. 8.

Wir wollen schlieſslich noch eine Reihe von Röhrenformen aufsuchen,
für welche mit den bis jetzt bereiten Hülfsmitteln der Analysis sich die Luft-
bewegung in der Mündung und die reducirte Länge vollständig wenigstens
für Schallwellen von so groſser Wellenlänge bestimmen läſst, daſs gegen diese
die Dimensionen der Röhrenöffnung ihres Querschnitts und des von der Cy-
lindergestalt abweichenden Theiles der Mündung verschwinden. Die Wand
der Röhre sei übrigens eine Rotationsfläche, welche in kleiner Entfernung
von der kreisförmigen Mündung, deren Radius R sei, übergeht in einen Cy-
linder von kreisförmigem Querschnitt, dessen Radius wir R1 nennen wollen.
Wir setzen ferner voraus, daſs auch die Bewegung der Luft überall sym-
metrisch um die Axe der Röhre vor sich gehe. Wir können nun im All-

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[50/0060] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Dies Verhältniſs wird, wie aus (15.) hervorgeht, ein Maximum, wenn [FORMEL]. Daraus folgt also, daſs auch bei einer beliebigen Lage des tönenden Punktes die ebenen Wellen im Innern der Röhre, wenn dergleichen über- haupt entstehen, das Maximum ihrer Intensität erreichen, wenn die Länge der Röhre ein ungerades Vielfaches der Viertelwellenlänge ist. Die ebenen Wellen im Innern einer an beiden Seiten offenen Röhre lassen sich mittelst der aufgestellten Probleme behandeln, wenn die Mündungen der Röhre nach der von uns gemachten Annahme in zwei parallelen festen Ebenen liegen, die den Luftraum in zwei Theile trennen, und der Schall auf der einen Seite von einem weit entfernten tönenden Punkte ausgeht. Auf der einen Seite dieser Wand setzt man das Geschwindigkeitspotential gleich der in den Gleichungen (10.) bis (12.) gebrauchten Function Ψ, auf der anderen Seite gleich der in den Gleichungen (16.) bis (16e.) vorkommenden Form Φ + Ψ, welche der Resonanz einer Röhre entspricht, in welche der Schall von der offenen Mündung eintritt. Man hat dann nur die Coefficienten der ebenen Wellen in der Röhre in diesen beiden Ausdrücken des Geschwindig- keitspotentials so zu bestimmen, daſs hier beide Functionen identisch werden. Da das weiter keine Schwierigkeiten macht, möge das Gesagte genügen. Die Resonanz in der Röhre wird am stärksten, wenn die reducirte Länge der Röhre, an welcher man die Correctionen für beide Mündungen anzubringen hat, ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist. §. 8. Wir wollen schlieſslich noch eine Reihe von Röhrenformen aufsuchen, für welche mit den bis jetzt bereiten Hülfsmitteln der Analysis sich die Luft- bewegung in der Mündung und die reducirte Länge vollständig wenigstens für Schallwellen von so groſser Wellenlänge bestimmen läſst, daſs gegen diese die Dimensionen der Röhrenöffnung ihres Querschnitts und des von der Cy- lindergestalt abweichenden Theiles der Mündung verschwinden. Die Wand der Röhre sei übrigens eine Rotationsfläche, welche in kleiner Entfernung von der kreisförmigen Mündung, deren Radius R sei, übergeht in einen Cy- linder von kreisförmigem Querschnitt, dessen Radius wir R1 nennen wollen. Wir setzen ferner voraus, daſs auch die Bewegung der Luft überall sym- metrisch um die Axe der Röhre vor sich gehe. Wir können nun im All-

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 50. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/60>, abgerufen am 25.11.2024.