Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

welche der Intensität des tönenden Punktes b entspricht, indem dort Φ unend-
lich wird, wie
$\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)$,
wollen wir gleich 1 setzen. Der Werth von $\frac{d\Psi}{dn}$ ist in (9^c.) an der er-
schütterten Stelle da der Wand gleichgesetzt worden:
$\frac{d\Psi_a}{dn} = B\cos(2\pi nt)$.
Am Grunde der Röhre ist $\frac{d\Psi_a}{dn} = \frac{d\Psi_a}{dx}$, und in dem Falle, wo der Boden
der Röhre erschüttert wird, von uns in den Gleichungen (15.) und (15^a.)
gesetzt worden:
$\frac{d\Psi_a}{dx} = G\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})$;
wir haben also die Constante B der Gleichung (9^c.) mit G zu vertauschen
und im Ausdrucke für Ψ statt 2πnt zu schreiben 2πnt — τ͵͵. Auſserdem ist
in dem Falle unserer Anwendung nicht blos ein einziges Flächenelement da
erschüttert worden, sondern der ganze Boden der Röhre; wir müssen also
über diesen integriren, und erhalten so
(17.) $4\pi\Psi_b = -G\int\Phi_ad\omega$
wo die Integration über den Boden der Röhre auszudehnen ist. Ist nun der
tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug entfernt, daſs hier ebene
stehende Wellen entstehen können, also Φ hier von der Form ist:
$\Phi = f\cos k(l + x)\cos(2\pi nt+c)$,
so wird aus (17.)
$4\pi\Psi_b = -fGQ\cos(2\pi nt + c)$,
$4\pi[\Psi'_b\cos(2\pi nt-\tau_{\prime\prime} + \Psi''_b\sin(2\pi nt - \tau_{\prime\prime})] = -fGQ\cos(2\pi nt+c)$,

(17^a.) $4\pi(\Psi'_b\cos\tau_{\prime\prime}-\Psi''_b\sin\tau_{\prime\prime}) = -fGQ\cos c$,
$4\pi(\Psi'_b\sin\tau_{\prime\prime}+\Psi''_b\cos\tau_{\prime\prime}) = fGQ\sin c$,

$4\pi\sqrt{(\Psi'_b)^2+(\Psi''_b)^2} = fGQ$.
Nun ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für jeden Punkt b proportional
der in den Gleichungen (10.) bis (16.) vorkommenden Constanten A, deren
Verhältniſs zu G für eine bestimmte Röhrenlänge gegeben ist in Gleichung (15.).
Also ist bei wechselnder Röhrenlänge auch f proportional dem Verhältniſs $\frac{A}{G}$.

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 7