Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

einzeln die mit cos (2π nt) und die mit sin (2π nt) multiplicirten Glieder gleich
Null setzt, so erhält man
(11.) $AQ = \int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega + k\int\Psi'\sin kx\cos\beta d\omega$,
(11^a.) $0 = \int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega + k\int\Psi''\sin kx\cos\beta d\omega$.

In beiden Gleichungen ist das erste Integral über die ganze Oeffnung der
Röhre zu nehmen, das zweite über die Wand der Röhre, doch wollen wir
gleich bemerken, daſs an allen Stellen, wo cos β von Null verschieden ist, kx
nach unserer Annahme eine verschwindend kleine Gröſse wird. In rein cy-
lindrischen Röhren mit ganz offener oder theilweis gedeckter Mündung fallen
diese letzteren Integrale ganz weg.

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Die zweite Anwendung des Theorems (7.) machen wir auf den freien
Raum auf Seite der positiven x, der einerseits begrenzt gedacht wird durch
die yz-Ebene, andererseits durch eine um den Anfangspunkt der Coordinaten
als Mittelpunkt construirte halbe Kugelfläche, welche in die Region der kuge-
ligen Wellen fällt. Innerhalb dieses Raumes liege der Punkt, dessen Coor-
dinaten α, β, γ sind. Die Entfernung des Punktes x, y, z von ihm sei r͵,
während r͵͵ die Entfernung von dem Punkte sei, dessen Coordinaten — α,
β, γ sind, und der auſserhalb des hier betrachteten Raumes liegt. Die Function
Φ der Gleichung (7.) setzen wir
$\Phi = \tfrac{1}{2}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}+\tfrac{1}{2}\frac{\cos(kr_{\prime\prime}-2\pi nt)}{r_{\prime\prime}}$.

Indem wir nun die Gleichung (7.) anwenden mit Beachtung des in (7^c.) be-
rücksichtigten Umstandes der Unstetigkeit von Φ im Punkte α, β, γ, erhal-
ten wir:
(11^b.) $\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 2\pi\cos(2\pi nt)\Psi_a$,
wo Ψ_α den Werth von Ψ im Punkte α, β, γ bezeichnet.

Wie im Falle der Gleichung (9.) wird die Gröſse $\Phi\frac{d\Psi}{dn} - \Psi\frac{d\Phi}{dn}$ an
der weit entfernten Kugelfläche eine von der Zeit unabhängige Gröſse, ebenso
natürlich auch das Integral dieser Gröſse über die Kugelfläche, welches wir
mit C bezeichnen wollen. An der yz-Ebene dagegen ist $\frac{d\Phi}{dn}$ überall gleich
Null, ebenso $\frac{d\Psi}{dn}$ überall mit Ausnahme der Oeffnung, wo es gleich $\frac{d\overline{\Psi}}{dx}$ ist;

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 5