Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Die erste Anwendung der Gleichung (7.) machen wir auf den inneren
Raum der Röhre, dieser von der Ebene der Mündung bis zu einer damit
parallelen Ebene genommen, welche in der Region der ebenen Wellen liegt.
Die Function Φ der Gleichung (7.) setzen wir hier:
$\Psi = \cos kx$.

Da sowohl Φ wie Ψ die Gleichung (3^b.) erfüllen innerhalb des hier betrach-
teten Raumes, so reducirt sich Gleichung (7.) auf
(7^b.) $\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 0$.

Nun ist $\frac{d\Psi}{dn}$ nur an der Mündung und in dem Querschnitte der Röhre von Null
verschieden, dort ist es gleich $-\frac{d\Psi}{dx}$, hier gleich $+\frac{d\Psi}{dx}$. Es wird also
$\int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = -\cos2\pi nt\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega - \sin 2\pi nt\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega$
$+ Q(A\cos kx - Bk\sin kx)\cos kx\cos(2\pi nt) - Q\mathfrak{B}k\sin kx\cos kx\sin(2\pi nt)$.

Durch den Horizontalstrich $\overline{\Psi}$ oder $\frac{d\overline{\Psi}}{dx}$ sollen hier und fortan die Werthe
bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in der Ebene der
Röhrenmündung haben. Mit Q ist die Gröſse des Querschnitts des cylindri-
schen Theils der Röhre bezeichnet. Dagegen ist $\frac{d\Phi}{dn}$ am cylindrischen Theile
der Röhrenwand und in der Oeffnung der Röhre gleich Null. Von Null ver-
schieden ist es nur in dem Querschnitte der Röhre, wo es den Werth —ksinkx
hat, und in dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand. Nennt man den
Winkel, den die nach innen gerichtete Normale der Röhrenwand mit den po-
sitiven x bildet, β, so ist, da $\frac{d\Phi}{dy} = \frac{d\Phi}{dz} = 0$,
$\frac{d\Phi}{dn} = \cos\beta\frac{d\Phi}{dx} = -k\sin kx\cos \beta$.

Wir haben also
$\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega = -Q (A\sin kx + kB\cos kx)\sin kx\cos (2\pi nt)$
$-Qk\mathfrak{B}\cos kx\sin kx\sin(2\pi nt)$
$+k\cos(2\pi nt)\int\Psi'\sin kx\cos\beta d\omega$
$+k\sin(2\pi nt)\int\Psi''\sin kx\cos\beta d\omega$.

Wenn man diese Werthe der Integrale in die Gleichung (7^b.) einführt, und