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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 38 Ein Spatheck in ein ihm gleiches zu verwandeln.
der zweiten Kante in die der dritten überzugehen, nach der-
selben, oder nach verschiedenen Seiten abbiegen muss."

§ 38. Um hiervon noch eine anschaulichere Idee zu geben,
wollen wir die Aufgabe stellen:

"Ein Spatheck in ein ihm gleiches (und gleich bezeichnetes)
zu verwandeln, dessen Grundseite (in derselben Ebene) gege-
ben ist, aber der des gegebenen Spathecks nicht parallel ist."

Es sei ab die Grundseite, ag die Höhenseite des gegebenen Spath-
ecks, ad die Grundseite des gesuchten (vergl. Fig. 11.).

Man ziehe von a die Parallele mit bd, von g mit ab, und
nenne den Durchschnitt beider e: so ist ae die Höhenseite eines
solchen Spathecks, welches der Aufgabe Genüge leistet. Denn
es ist
[Formel 1] weil ge mit ab parallel ist, und
[Formel 2] weil bd parallel ae ist. Also auch in der That
[Formel 3] Wollte man die gesammte Schaar der Spathecke haben, welche der
Aufgabe genügen, so hätte man noch von e mit ad die Parallele zu
ziehen, und den Punkt e in dieser Parallelen veränderlich zu
setzen. -- Wendet man diese Auflösung auf den Fall an, dass die
Grundseite des gesuchten Parallelogramms der Höhenseite des ge-
gebenen identisch ist, so gelangt man durch reine Konstruktion
zu der Formel
[Formel 4] In der That fällt dann d auf g (vergl. Fig. 11, b), und zieht man
dann von e die Parallele mit ad, welche ab in e1 schneide, so
überzeugt man sich leicht, dass
[Formel 5] ist, und die obige Auflösung ergab
[Formel 6] also statt ae, seinen Werth -- [ab] gesetzt, und das negative
Zeichen dem ganzen Produkte beigelegt,
[Formel 7] Da man sich dies Gesetz des Zeichenwechsels bei der Vertauschung

§ 38 Ein Spatheck in ein ihm gleiches zu verwandeln.
der zweiten Kante in die der dritten überzugehen, nach der-
selben, oder nach verschiedenen Seiten abbiegen muss.“

§ 38. Um hiervon noch eine anschaulichere Idee zu geben,
wollen wir die Aufgabe stellen:

„Ein Spatheck in ein ihm gleiches (und gleich bezeichnetes)
zu verwandeln, dessen Grundseite (in derselben Ebene) gege-
ben ist, aber der des gegebenen Spathecks nicht parallel ist.“

Es sei αβ die Grundseite, αγ die Höhenseite des gegebenen Spath-
ecks, αδ die Grundseite des gesuchten (vergl. Fig. 11.).

Man ziehe von α die Parallele mit βδ, von γ mit αβ, und
nenne den Durchschnitt beider ε: so ist αε die Höhenseite eines
solchen Spathecks, welches der Aufgabe Genüge leistet. Denn
es ist
[Formel 1] weil γε mit αβ parallel ist, und
[Formel 2] weil βδ parallel αε ist. Also auch in der That
[Formel 3] Wollte man die gesammte Schaar der Spathecke haben, welche der
Aufgabe genügen, so hätte man noch von ε mit αδ die Parallele zu
ziehen, und den Punkt ε in dieser Parallelen veränderlich zu
setzen. — Wendet man diese Auflösung auf den Fall an, dass die
Grundseite des gesuchten Parallelogramms der Höhenseite des ge-
gebenen identisch ist, so gelangt man durch reine Konstruktion
zu der Formel
[Formel 4] In der That fällt dann δ auf γ (vergl. Fig. 11, b), und zieht man
dann von ε die Parallele mit αδ, welche αβ in ε1 schneide, so
überzeugt man sich leicht, dass
[Formel 5] ist, und die obige Auflösung ergab
[Formel 6] also statt αε, seinen Werth — [αβ] gesetzt, und das negative
Zeichen dem ganzen Produkte beigelegt,
[Formel 7] Da man sich dies Gesetz des Zeichenwechsels bei der Vertauschung

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[63/0099] § 38 Ein Spatheck in ein ihm gleiches zu verwandeln. der zweiten Kante in die der dritten überzugehen, nach der- selben, oder nach verschiedenen Seiten abbiegen muss.“ § 38. Um hiervon noch eine anschaulichere Idee zu geben, wollen wir die Aufgabe stellen: „Ein Spatheck in ein ihm gleiches (und gleich bezeichnetes) zu verwandeln, dessen Grundseite (in derselben Ebene) gege- ben ist, aber der des gegebenen Spathecks nicht parallel ist.“ Es sei αβ die Grundseite, αγ die Höhenseite des gegebenen Spath- ecks, αδ die Grundseite des gesuchten (vergl. Fig. 11.). Man ziehe von α die Parallele mit βδ, von γ mit αβ, und nenne den Durchschnitt beider ε: so ist αε die Höhenseite eines solchen Spathecks, welches der Aufgabe Genüge leistet. Denn es ist [FORMEL] weil γε mit αβ parallel ist, und [FORMEL] weil βδ parallel αε ist. Also auch in der That [FORMEL] Wollte man die gesammte Schaar der Spathecke haben, welche der Aufgabe genügen, so hätte man noch von ε mit αδ die Parallele zu ziehen, und den Punkt ε in dieser Parallelen veränderlich zu setzen. — Wendet man diese Auflösung auf den Fall an, dass die Grundseite des gesuchten Parallelogramms der Höhenseite des ge- gebenen identisch ist, so gelangt man durch reine Konstruktion zu der Formel [FORMEL] In der That fällt dann δ auf γ (vergl. Fig. 11, b), und zieht man dann von ε die Parallele mit αδ, welche αβ in ε1 schneide, so überzeugt man sich leicht, dass [FORMEL] ist, und die obige Auflösung ergab [FORMEL] also statt αε, seinen Werth — [αβ] gesetzt, und das negative Zeichen dem ganzen Produkte beigelegt, [FORMEL] Da man sich dies Gesetz des Zeichenwechsels bei der Vertauschung

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 63. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/99>, abgerufen am 02.05.2024.