Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 37

ferner der Endpunkt der Höhenseite in einer mit der Grundseite,
oder der Endpunkt der Grundseite in einer mit der Höhenseite
parallelen Linie fortrückt, während die jedesmalige andere Seite
dieselbe bleibt, so bleibt der Flächeninhalt des Spathecks gleich,
also auch gleichbezeichnet. Von diesen beiden Voraussetzungen
gehen wir aus, um die geometrische Begründung des allgemeinen
Zeichengesetzes zu liefern. Zunächst ist klar, dass bei den ange-
gebenen Veränderungen die Höhenseite von der Grundseite aus be-
trachtet stets nach derselben Seite hin liegend bleibt, d. h. wenn
man zuerst in der Richtung der Grundseite, und dann in der der
Höhenseite fortschreitet, so muss man in dem auf jene Weise ver-
änderten Spatheck nach derselben Seite hin abbiegen, wie in dem
ursprünglichen. Da man nun durch jene Veränderungen, bei wel-
chen das Zeichen sich nicht ändert, die Höhenseite sowohl, als
nachher die Grundseite in jede beliebige Lage bringen kann (nur
dass sie beide nicht zusammenfallen dürfen), dabei aber immer die
Höhenseite von der Grundseite aus betrachtet nach derselben Seite
hin liegend bleibt, und man endlich auch dieselben, wenn man
ihre Richtungen festhält, beliebig vergrössern und verkleinern kann,
ohne dass sich das Vorzeichen ändert, so folgt daraus, dass alle
Spathecke, deren Höhenseiten von der Grundseite aus betrachtet
nach derselben Seite hin liegen, auch gleich bezeichnet sein müs-
sen. Dass nun umgekehrt diejenigen Spathecke, in welchen die
Höhenseiten von den Grundseiten aus betrachtet nach entgegenge-
setzten Seiten liegen, auch entgegengesetzt bezeichnete Flächen-
räume darstellen, folgt sogleich nach dem so eben erwiesenen,
wenn es nur für irgend zwei bewiesen ist, für a. b und a. (--b)
ergiebt sich dies aber sogleich aus dem Begriff des negativen. So-
mit ist jenes allgemeine Zeichengesetz auch auf rein geometrischem
Wege vollständig erwiesen. Für Spathe würden wir auf ganz ent-
sprechende Weise, wenn wir hier die erste, zweite und dritte
Kante unterscheiden, das Gesetz aufstellen können:

"Die Körperräume zweier Spathe sind gleich oder entgegen-
gesetzt bezeichnet, je nachdem (um es in einem Bilde auszu-
drücken), wenn man den Körper in die Richtung der ersten
Kante gestellt denkt (die Füsse nach deren Anfangspunkt zu,
den Kopf nach dem Endpunkt), man, um von der Richtung

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 37

ferner der Endpunkt der Höhenseite in einer mit der Grundseite,
oder der Endpunkt der Grundseite in einer mit der Höhenseite
parallelen Linie fortrückt, während die jedesmalige andere Seite
dieselbe bleibt, so bleibt der Flächeninhalt des Spathecks gleich,
also auch gleichbezeichnet. Von diesen beiden Voraussetzungen
gehen wir aus, um die geometrische Begründung des allgemeinen
Zeichengesetzes zu liefern. Zunächst ist klar, dass bei den ange-
gebenen Veränderungen die Höhenseite von der Grundseite aus be-
trachtet stets nach derselben Seite hin liegend bleibt, d. h. wenn
man zuerst in der Richtung der Grundseite, und dann in der der
Höhenseite fortschreitet, so muss man in dem auf jene Weise ver-
änderten Spatheck nach derselben Seite hin abbiegen, wie in dem
ursprünglichen. Da man nun durch jene Veränderungen, bei wel-
chen das Zeichen sich nicht ändert, die Höhenseite sowohl, als
nachher die Grundseite in jede beliebige Lage bringen kann (nur
dass sie beide nicht zusammenfallen dürfen), dabei aber immer die
Höhenseite von der Grundseite aus betrachtet nach derselben Seite
hin liegend bleibt, und man endlich auch dieselben, wenn man
ihre Richtungen festhält, beliebig vergrössern und verkleinern kann,
ohne dass sich das Vorzeichen ändert, so folgt daraus, dass alle
Spathecke, deren Höhenseiten von der Grundseite aus betrachtet
nach derselben Seite hin liegen, auch gleich bezeichnet sein müs-
sen. Dass nun umgekehrt diejenigen Spathecke, in welchen die
Höhenseiten von den Grundseiten aus betrachtet nach entgegenge-
setzten Seiten liegen, auch entgegengesetzt bezeichnete Flächen-
räume darstellen, folgt sogleich nach dem so eben erwiesenen,
wenn es nur für irgend zwei bewiesen ist, für a. b und a. (—b)
ergiebt sich dies aber sogleich aus dem Begriff des negativen. So-
mit ist jenes allgemeine Zeichengesetz auch auf rein geometrischem
Wege vollständig erwiesen. Für Spathe würden wir auf ganz ent-
sprechende Weise, wenn wir hier die erste, zweite und dritte
Kante unterscheiden, das Gesetz aufstellen können:

„Die Körperräume zweier Spathe sind gleich oder entgegen-
gesetzt bezeichnet, je nachdem (um es in einem Bilde auszu-
drücken), wenn man den Körper in die Richtung der ersten
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[62/0098] Aeussere Multiplikation der Strecken. § 37 ferner der Endpunkt der Höhenseite in einer mit der Grundseite, oder der Endpunkt der Grundseite in einer mit der Höhenseite parallelen Linie fortrückt, während die jedesmalige andere Seite dieselbe bleibt, so bleibt der Flächeninhalt des Spathecks gleich, also auch gleichbezeichnet. Von diesen beiden Voraussetzungen gehen wir aus, um die geometrische Begründung des allgemeinen Zeichengesetzes zu liefern. Zunächst ist klar, dass bei den ange- gebenen Veränderungen die Höhenseite von der Grundseite aus be- trachtet stets nach derselben Seite hin liegend bleibt, d. h. wenn man zuerst in der Richtung der Grundseite, und dann in der der Höhenseite fortschreitet, so muss man in dem auf jene Weise ver- änderten Spatheck nach derselben Seite hin abbiegen, wie in dem ursprünglichen. Da man nun durch jene Veränderungen, bei wel- chen das Zeichen sich nicht ändert, die Höhenseite sowohl, als nachher die Grundseite in jede beliebige Lage bringen kann (nur dass sie beide nicht zusammenfallen dürfen), dabei aber immer die Höhenseite von der Grundseite aus betrachtet nach derselben Seite hin liegend bleibt, und man endlich auch dieselben, wenn man ihre Richtungen festhält, beliebig vergrössern und verkleinern kann, ohne dass sich das Vorzeichen ändert, so folgt daraus, dass alle Spathecke, deren Höhenseiten von der Grundseite aus betrachtet nach derselben Seite hin liegen, auch gleich bezeichnet sein müs- sen. Dass nun umgekehrt diejenigen Spathecke, in welchen die Höhenseiten von den Grundseiten aus betrachtet nach entgegenge- setzten Seiten liegen, auch entgegengesetzt bezeichnete Flächen- räume darstellen, folgt sogleich nach dem so eben erwiesenen, wenn es nur für irgend zwei bewiesen ist, für a. b und a. (—b) ergiebt sich dies aber sogleich aus dem Begriff des negativen. So- mit ist jenes allgemeine Zeichengesetz auch auf rein geometrischem Wege vollständig erwiesen. Für Spathe würden wir auf ganz ent- sprechende Weise, wenn wir hier die erste, zweite und dritte Kante unterscheiden, das Gesetz aufstellen können: „Die Körperräume zweier Spathe sind gleich oder entgegen- gesetzt bezeichnet, je nachdem (um es in einem Bilde auszu- drücken), wenn man den Körper in die Richtung der ersten Kante gestellt denkt (die Füsse nach deren Anfangspunkt zu, den Kopf nach dem Endpunkt), man, um von der Richtung

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Zitationshilfe:	Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 62. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/98>, abgerufen am 02.05.2024.

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