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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 34

§ 34. Dasselbe lässt sich nun auch erweisen, wenn in einem
Produkte aus mehreren Faktoren irgend zwei auf einander folgende
Faktoren auf die angegebene Weise zerstückt sind. Nämlich da das
Gleiche mit dem Gleichen auf dieselbe Weise verknüpft wieder Glei-
ches giebt (§ 1), so muss auch, wenn P irgend eine Faktorenreihe
bezeichnet
[Formel 1] sein. Demnächst lässt sich zeigen, dass bei Vertauschung der
Faktoren der absolute Werth derselbe bleibt. Nämlich a. b. c....
bedeutet die Ausdehnung, welche aus einem als Ursprungselement
gesetzten Elemente dadurch hervorgeht, dass dasselbe zuerst die
Strecke a erzeugt, dann jedes Element dieser Strecke die Strecke
b, dann jedes so entstandene Element die Strecke c erzeugt u.
s. w. Alle Elemente der so gebildeten Ausdehnung gehen somit
aus dem angenommenen Ursprungselemente durch Aenderungen
hervor, welche mit a, b, c, ... gleichartig sind, aber deren Grösse
nicht überschreiten, und die Gesammtheit der so erzeugbaren
Elemente ist eben jene Ausdehnung. Da es nun auch für's Resultat
gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge diese Aenderungen sich
an einander schliessen (§ 17), so wird man von demselben Ur-
sprungselemente aus bei beliebiger Reihenfolge der Faktoren
a, b, c, ... stets zu derselben Gesammtheit von Elementen gelan-
gen, welche die Ausdehnung konstituiren; d. h. alle solche Pro-
dukte werden denselben absoluten Werth darstellen. Es werden
also die früher für die ersten beiden Faktoren solcher Produkte
erwiesenen Gesetze für je zwei andere Faktoren auch gelten, so-
fern nur die Vorzeichen entsprechend gewählt werden dürfen. Die
Vorzeichen können nur in so fern willkührlich gewählt werden, als
sie noch nicht durch Definitionen bestimmt sind. Auf dieselbe
Weise nun, wie wir für zwei Faktoren die Zeichen nur so wählen
konnten, dass auch dem Zeichen nach
[Formel 2] wurde, auf dieselbe Weise werden wir auch, wenn beliebig viele
Faktoren vorhergehen, diese Zeichenbestimmung festhalten, und
also nicht nur dem absoluten Werthe nach, sondern auch dem
Zeichen nach
[Formel 3]

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 34

§ 34. Dasselbe lässt sich nun auch erweisen, wenn in einem
Produkte aus mehreren Faktoren irgend zwei auf einander folgende
Faktoren auf die angegebene Weise zerstückt sind. Nämlich da das
Gleiche mit dem Gleichen auf dieselbe Weise verknüpft wieder Glei-
ches giebt (§ 1), so muss auch, wenn P irgend eine Faktorenreihe
bezeichnet
[Formel 1] sein. Demnächst lässt sich zeigen, dass bei Vertauschung der
Faktoren der absolute Werth derselbe bleibt. Nämlich a. b. c....
bedeutet die Ausdehnung, welche aus einem als Ursprungselement
gesetzten Elemente dadurch hervorgeht, dass dasselbe zuerst die
Strecke a erzeugt, dann jedes Element dieser Strecke die Strecke
b, dann jedes so entstandene Element die Strecke c erzeugt u.
s. w. Alle Elemente der so gebildeten Ausdehnung gehen somit
aus dem angenommenen Ursprungselemente durch Aenderungen
hervor, welche mit a, b, c, ... gleichartig sind, aber deren Grösse
nicht überschreiten, und die Gesammtheit der so erzeugbaren
Elemente ist eben jene Ausdehnung. Da es nun auch für’s Resultat
gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge diese Aenderungen sich
an einander schliessen (§ 17), so wird man von demselben Ur-
sprungselemente aus bei beliebiger Reihenfolge der Faktoren
a, b, c, ... stets zu derselben Gesammtheit von Elementen gelan-
gen, welche die Ausdehnung konstituiren; d. h. alle solche Pro-
dukte werden denselben absoluten Werth darstellen. Es werden
also die früher für die ersten beiden Faktoren solcher Produkte
erwiesenen Gesetze für je zwei andere Faktoren auch gelten, so-
fern nur die Vorzeichen entsprechend gewählt werden dürfen. Die
Vorzeichen können nur in so fern willkührlich gewählt werden, als
sie noch nicht durch Definitionen bestimmt sind. Auf dieselbe
Weise nun, wie wir für zwei Faktoren die Zeichen nur so wählen
konnten, dass auch dem Zeichen nach
[Formel 2] wurde, auf dieselbe Weise werden wir auch, wenn beliebig viele
Faktoren vorhergehen, diese Zeichenbestimmung festhalten, und
also nicht nur dem absoluten Werthe nach, sondern auch dem
Zeichen nach
[Formel 3] 

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[56/0092] Aeussere Multiplikation der Strecken. § 34 § 34. Dasselbe lässt sich nun auch erweisen, wenn in einem Produkte aus mehreren Faktoren irgend zwei auf einander folgende Faktoren auf die angegebene Weise zerstückt sind. Nämlich da das Gleiche mit dem Gleichen auf dieselbe Weise verknüpft wieder Glei- ches giebt (§ 1), so muss auch, wenn P irgend eine Faktorenreihe bezeichnet [FORMEL] sein. Demnächst lässt sich zeigen, dass bei Vertauschung der Faktoren der absolute Werth derselbe bleibt. Nämlich a. b. c.... bedeutet die Ausdehnung, welche aus einem als Ursprungselement gesetzten Elemente dadurch hervorgeht, dass dasselbe zuerst die Strecke a erzeugt, dann jedes Element dieser Strecke die Strecke b, dann jedes so entstandene Element die Strecke c erzeugt u. s. w. Alle Elemente der so gebildeten Ausdehnung gehen somit aus dem angenommenen Ursprungselemente durch Aenderungen hervor, welche mit a, b, c, ... gleichartig sind, aber deren Grösse nicht überschreiten, und die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente ist eben jene Ausdehnung. Da es nun auch für’s Resultat gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge diese Aenderungen sich an einander schliessen (§ 17), so wird man von demselben Ur- sprungselemente aus bei beliebiger Reihenfolge der Faktoren a, b, c, ... stets zu derselben Gesammtheit von Elementen gelan- gen, welche die Ausdehnung konstituiren; d. h. alle solche Pro- dukte werden denselben absoluten Werth darstellen. Es werden also die früher für die ersten beiden Faktoren solcher Produkte erwiesenen Gesetze für je zwei andere Faktoren auch gelten, so- fern nur die Vorzeichen entsprechend gewählt werden dürfen. Die Vorzeichen können nur in so fern willkührlich gewählt werden, als sie noch nicht durch Definitionen bestimmt sind. Auf dieselbe Weise nun, wie wir für zwei Faktoren die Zeichen nur so wählen konnten, dass auch dem Zeichen nach [FORMEL] wurde, auf dieselbe Weise werden wir auch, wenn beliebig viele Faktoren vorhergehen, diese Zeichenbestimmung festhalten, und also nicht nur dem absoluten Werthe nach, sondern auch dem Zeichen nach [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 56. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/92>, abgerufen am 02.05.2024.