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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 34 Grundgesetz der aeussern Multiplikation.
(§ 8), so ist [bg] in gleichem Sinne erzeugt mit [gg'], d. h. g
liegt zwischen b und g' *), und ebenso ist [bb'] in gleichem Sinne
erzeugt mit [b'g'], weil nämlich dies letztere nach § 20 gleich
[bg] ist, also liegt auch b' zwischen denselben beiden Elementen
b und g', und diese letztern sind also die äussersten von den ge-
nannten vieren. Daraus folgt, dass
[Formel 1] und
[Formel 2] sei. Nun sind aber die Ausdehnungen abg und a'b'g' einander
gleich, weil die letztere aus der ersteren durch Aenderung aller
Elemente um die Strecke b hervorgeht, und dabei nach § 20 alle
Strecken gleich bleiben, also auch die Ausdehnungen zweiter Stufe,
indem jede solche nur eine Gesammtheit von Strecken darstellt.
Somit werden auch die Ausdehnungen [abb'a'] und [agg'a'] ein-
ander gleich sein, da sie aus dem Gleichen auf dieselbe Weise
entstanden sind; d. h.
[Formel 3] **).
Dieser Beweis ist zunächst nur für den Fall geführt, dass b und b1
in gleichem Sinne erzeugt sind; um die Gültigkeit desselben Ge-
setzes auch für den Fall der in entgegengesetztem Sinne erfolgten
Erzeugung darzuthun, sei a+b1 = c, so ist a = c--b1 und wir
erhalten
[Formel 4] ,
d. h. das eben dargestellte Gesetz gilt auch, wenn die eben durch
b und b1 bezeichneten Strecken in entgegengesetztem Sinne er-
zeugt sind, also überhaupt, wenn sie gleichartig sind. Ganz genau
auf dieselbe Weise folgt nun auch, dass, wenn b und b1 gleich-
artig sind, auch
[Formel 5] sei. Ist hier a gleich null, so hat man b. b1 gleich null; d. h.
das Produkt zweier gleichartiger Strecken ist null, wie dies auch
aus dem Begriff unmittelbar hervorgeht.

*) Die Bedeutung des hier gebrauchten bildlichen Ausdrucks in der ab-
strakten Wissenschaft ist wohl an sich klar.
**) Es ist leicht zu sehen, dass dies nur der auf die abstrakte Wissenschaft
übertragene Beweis für den entsprechenden geometrischen Satz ist.

§ 34 Grundgesetz der aeussern Multiplikation.
(§ 8), so ist [βγ] in gleichem Sinne erzeugt mit [γγ´], d. h. γ
liegt zwischen β und γ´ *), und ebenso ist [ββ´] in gleichem Sinne
erzeugt mit [β´γ´], weil nämlich dies letztere nach § 20 gleich
[βγ] ist, also liegt auch β´ zwischen denselben beiden Elementen
β und γ´, und diese letztern sind also die äussersten von den ge-
nannten vieren. Daraus folgt, dass
[Formel 1] und
[Formel 2] sei. Nun sind aber die Ausdehnungen αβγ und α´β´γ´ einander
gleich, weil die letztere aus der ersteren durch Aenderung aller
Elemente um die Strecke b hervorgeht, und dabei nach § 20 alle
Strecken gleich bleiben, also auch die Ausdehnungen zweiter Stufe,
indem jede solche nur eine Gesammtheit von Strecken darstellt.
Somit werden auch die Ausdehnungen [αββ´α´] und [αγγ´α´] ein-
ander gleich sein, da sie aus dem Gleichen auf dieselbe Weise
entstanden sind; d. h.
[Formel 3] **).
Dieser Beweis ist zunächst nur für den Fall geführt, dass b und b1
in gleichem Sinne erzeugt sind; um die Gültigkeit desselben Ge-
setzes auch für den Fall der in entgegengesetztem Sinne erfolgten
Erzeugung darzuthun, sei a+b1 = c, so ist a = c—b1 und wir
erhalten
[Formel 4] ,
d. h. das eben dargestellte Gesetz gilt auch, wenn die eben durch
b und b1 bezeichneten Strecken in entgegengesetztem Sinne er-
zeugt sind, also überhaupt, wenn sie gleichartig sind. Ganz genau
auf dieselbe Weise folgt nun auch, dass, wenn b und b1 gleich-
artig sind, auch
[Formel 5] sei. Ist hier a gleich null, so hat man b. b1 gleich null; d. h.
das Produkt zweier gleichartiger Strecken ist null, wie dies auch
aus dem Begriff unmittelbar hervorgeht.

*) Die Bedeutung des hier gebrauchten bildlichen Ausdrucks in der ab-
strakten Wissenschaft ist wohl an sich klar.
**) Es ist leicht zu sehen, dass dies nur der auf die abstrakte Wissenschaft
übertragene Beweis für den entsprechenden geometrischen Satz ist.
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[55/0091] § 34 Grundgesetz der aeussern Multiplikation. (§ 8), so ist [βγ] in gleichem Sinne erzeugt mit [γγ´], d. h. γ liegt zwischen β und γ´ *), und ebenso ist [ββ´] in gleichem Sinne erzeugt mit [β´γ´], weil nämlich dies letztere nach § 20 gleich [βγ] ist, also liegt auch β´ zwischen denselben beiden Elementen β und γ´, und diese letztern sind also die äussersten von den ge- nannten vieren. Daraus folgt, dass [FORMEL] und [FORMEL] sei. Nun sind aber die Ausdehnungen αβγ und α´β´γ´ einander gleich, weil die letztere aus der ersteren durch Aenderung aller Elemente um die Strecke b hervorgeht, und dabei nach § 20 alle Strecken gleich bleiben, also auch die Ausdehnungen zweiter Stufe, indem jede solche nur eine Gesammtheit von Strecken darstellt. Somit werden auch die Ausdehnungen [αββ´α´] und [αγγ´α´] ein- ander gleich sein, da sie aus dem Gleichen auf dieselbe Weise entstanden sind; d. h. [FORMEL] **). Dieser Beweis ist zunächst nur für den Fall geführt, dass b und b1 in gleichem Sinne erzeugt sind; um die Gültigkeit desselben Ge- setzes auch für den Fall der in entgegengesetztem Sinne erfolgten Erzeugung darzuthun, sei a+b1 = c, so ist a = c—b1 und wir erhalten [FORMEL], d. h. das eben dargestellte Gesetz gilt auch, wenn die eben durch b und b1 bezeichneten Strecken in entgegengesetztem Sinne er- zeugt sind, also überhaupt, wenn sie gleichartig sind. Ganz genau auf dieselbe Weise folgt nun auch, dass, wenn b und b1 gleich- artig sind, auch [FORMEL] sei. Ist hier a gleich null, so hat man b. b1 gleich null; d. h. das Produkt zweier gleichartiger Strecken ist null, wie dies auch aus dem Begriff unmittelbar hervorgeht. *) Die Bedeutung des hier gebrauchten bildlichen Ausdrucks in der ab- strakten Wissenschaft ist wohl an sich klar. **) Es ist leicht zu sehen, dass dies nur der auf die abstrakte Wissenschaft übertragene Beweis für den entsprechenden geometrischen Satz ist.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/91>, abgerufen am 02.05.2024.