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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 32
sind, diejenige Ausdehnung, welche erzeugt wird, wenn jedes
Element von a die Strecke b erzeugt, und zwar diese Ausdehnung
als ein den übrigen gleichartiger Theil des Systemes zweiter Stufe
aufgefasst." Diese Definition dehnen wir nun auf beliebig viele
Glieder aus, und verstehen vorläufig: "unter a-b-c.., wo a, b, c...
beliebig viele, etwa n, Strecken sind, diejenige Ausdehnung, welche
entsteht, wenn jedes Element von a die Strecke b erzeugt, jedes
der so entstandenen Elemente die Strecke c erzeugt u. s. w., und
zwar diese Ausdehnung als allen übrigen Theilen desselben Sy-
stemes n-ter Stufe gleichartig gesetzt. Wir nennen die so erzeugte
Ausdehnung eine Ausdehnung n-ter Stufe."

§ 32. Da die Ausdehnungen n-ter Stufe, sofern sie demsel-
ben Systeme n-ter Stufe angehören, einander gleichartig gesetzt
wurden, so gilt für sie der Begriff, den wir in § 8 für die Summe
des Gleichartigen aufgestellt haben, dass sie nämlich, wenn das
Gleichartige auch in gleichem (nicht entgegengesetztem) Sinne er-
zeugt ist, das Ganze sei, zu dem jene gleichartigen Summanden
die Theile bilden. Somit gelten auch sämmtliche Gesetze der
Addition und Subtraktion für diese Verknüpfung der gleichartigen
Ausdehnungen. Um daher die Beziehung der im vorigen Paragra-
phen dargestellten neuen Verknüpfungsweise zur Addition aufzu-
fassen, werden wir zunächst die Addition gleichartiger Grössen in
Betracht ziehen. Es ergiebt sich hier unmittelbar, wenn A und A1
zwei gleichartige und zwar auch in gleichem Sinne erzeugte Aus-
dehnungsgrössen von beliebiger Stufe sind, und b eine Strecke
darstellt, dass allemal
[Formel 1] ist, wo auch wiederum A-b und A1-b gleichartig sind, und wo
das Verknüpfungszeichen die neue Verknüpfungsweise darstellen
soll. Da nämlich (A+A1) das Ganze ist aus A und A1, so bedeu-
tet (A+A1)-b die Gesammtheit der Elemente, welche entstehen,
wenn jedes Element von A und von A1 die Strecke b erzeugt, oder,
was dasselbe bedeutet, wenn jedes Element von A die Strecke b
erzeugt und ebenso jedes Element von A1, d. h.: es ist gleich
A-b+A1-b. Ebenso folgt aber auch, dass
[Formel 2] ist, wenn b und b1 in gleichem Sinne erzeugt sind. Denn A- (b+b1)

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 32
sind, diejenige Ausdehnung, welche erzeugt wird, wenn jedes
Element von a die Strecke b erzeugt, und zwar diese Ausdehnung
als ein den übrigen gleichartiger Theil des Systemes zweiter Stufe
aufgefasst.“ Diese Definition dehnen wir nun auf beliebig viele
Glieder aus, und verstehen vorläufig: „unter a⁀b⁀c.., wo a, b, c...
beliebig viele, etwa n, Strecken sind, diejenige Ausdehnung, welche
entsteht, wenn jedes Element von a die Strecke b erzeugt, jedes
der so entstandenen Elemente die Strecke c erzeugt u. s. w., und
zwar diese Ausdehnung als allen übrigen Theilen desselben Sy-
stemes n-ter Stufe gleichartig gesetzt. Wir nennen die so erzeugte
Ausdehnung eine Ausdehnung n-ter Stufe.“

§ 32. Da die Ausdehnungen n-ter Stufe, sofern sie demsel-
ben Systeme n-ter Stufe angehören, einander gleichartig gesetzt
wurden, so gilt für sie der Begriff, den wir in § 8 für die Summe
des Gleichartigen aufgestellt haben, dass sie nämlich, wenn das
Gleichartige auch in gleichem (nicht entgegengesetztem) Sinne er-
zeugt ist, das Ganze sei, zu dem jene gleichartigen Summanden
die Theile bilden. Somit gelten auch sämmtliche Gesetze der
Addition und Subtraktion für diese Verknüpfung der gleichartigen
Ausdehnungen. Um daher die Beziehung der im vorigen Paragra-
phen dargestellten neuen Verknüpfungsweise zur Addition aufzu-
fassen, werden wir zunächst die Addition gleichartiger Grössen in
Betracht ziehen. Es ergiebt sich hier unmittelbar, wenn A und A1
zwei gleichartige und zwar auch in gleichem Sinne erzeugte Aus-
dehnungsgrössen von beliebiger Stufe sind, und b eine Strecke
darstellt, dass allemal
[Formel 1] ist, wo auch wiederum A⁀b und A1⁀b gleichartig sind, und wo
das Verknüpfungszeichen die neue Verknüpfungsweise darstellen
soll. Da nämlich (A+A1) das Ganze ist aus A und A1, so bedeu-
tet (A+A1)⁀b die Gesammtheit der Elemente, welche entstehen,
wenn jedes Element von A und von A1 die Strecke b erzeugt, oder,
was dasselbe bedeutet, wenn jedes Element von A die Strecke b
erzeugt und ebenso jedes Element von A1, d. h.: es ist gleich
A⁀b+A1⁀b. Ebenso folgt aber auch, dass
[Formel 2] ist, wenn b und b1 in gleichem Sinne erzeugt sind. Denn A⁀ (b+b1)

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[52/0088] Aeussere Multiplikation der Strecken. § 32 sind, diejenige Ausdehnung, welche erzeugt wird, wenn jedes Element von a die Strecke b erzeugt, und zwar diese Ausdehnung als ein den übrigen gleichartiger Theil des Systemes zweiter Stufe aufgefasst.“ Diese Definition dehnen wir nun auf beliebig viele Glieder aus, und verstehen vorläufig: „unter a⁀b⁀c.., wo a, b, c... beliebig viele, etwa n, Strecken sind, diejenige Ausdehnung, welche entsteht, wenn jedes Element von a die Strecke b erzeugt, jedes der so entstandenen Elemente die Strecke c erzeugt u. s. w., und zwar diese Ausdehnung als allen übrigen Theilen desselben Sy- stemes n-ter Stufe gleichartig gesetzt. Wir nennen die so erzeugte Ausdehnung eine Ausdehnung n-ter Stufe.“ § 32. Da die Ausdehnungen n-ter Stufe, sofern sie demsel- ben Systeme n-ter Stufe angehören, einander gleichartig gesetzt wurden, so gilt für sie der Begriff, den wir in § 8 für die Summe des Gleichartigen aufgestellt haben, dass sie nämlich, wenn das Gleichartige auch in gleichem (nicht entgegengesetztem) Sinne er- zeugt ist, das Ganze sei, zu dem jene gleichartigen Summanden die Theile bilden. Somit gelten auch sämmtliche Gesetze der Addition und Subtraktion für diese Verknüpfung der gleichartigen Ausdehnungen. Um daher die Beziehung der im vorigen Paragra- phen dargestellten neuen Verknüpfungsweise zur Addition aufzu- fassen, werden wir zunächst die Addition gleichartiger Grössen in Betracht ziehen. Es ergiebt sich hier unmittelbar, wenn A und A1 zwei gleichartige und zwar auch in gleichem Sinne erzeugte Aus- dehnungsgrössen von beliebiger Stufe sind, und b eine Strecke darstellt, dass allemal [FORMEL] ist, wo auch wiederum A⁀b und A1⁀b gleichartig sind, und wo das Verknüpfungszeichen die neue Verknüpfungsweise darstellen soll. Da nämlich (A+A1) das Ganze ist aus A und A1, so bedeu- tet (A+A1)⁀b die Gesammtheit der Elemente, welche entstehen, wenn jedes Element von A und von A1 die Strecke b erzeugt, oder, was dasselbe bedeutet, wenn jedes Element von A die Strecke b erzeugt und ebenso jedes Element von A1, d. h.: es ist gleich A⁀b+A1⁀b. Ebenso folgt aber auch, dass [FORMEL] ist, wenn b und b1 in gleichem Sinne erzeugt sind. Denn A⁀ (b+b1)

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 52. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/88>, abgerufen am 02.05.2024.