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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 31 Erzeugung von Ausdehungen höherer St.
um in ihr den rein abstrakten, von aller Betrachtung des Raumes
unabhängigen Weg zu verfolgen.

§ 31. Im ersten Kapitel betrachteten wir die Ausdehnungen,
wie sie durch einfache Erzeugung aus dem Elemente hervorgingen;
und die Verknüpfung dieser Ausdehnungen, sofern dadurch wieder
Ausdehnungen derselben Gattung, d. h. solche, die ihrerseits wie-
der durch einfache Erzeugung aus dem Elemente ableitbar sind,
entstanden, haben wir vollständig der Betrachtung unterworfen,
und nachgewiesen, dass dieselbe als Addition oder Subtraktion
aufzufassen sei. Die weitere Entwickelung fordert also die Erzeu-
gung neuer Gattungen der Ausdehnung. Die Art dieser Erzeugung
ergiebt sich sogleich analog der Art, wie aus dem Elemente die
Ausdehnung erster Stufe erzeugt wurde, indem man nun auf gleiche
Weise die sämmtlichen Elemente einer Strecke wiederum einer
andern Erzeugung unterwerfen kann; und zwar fordert die Ein-
fachheit der neu zu erzeugenden Grösse die Gleichheit der Erzeu-
gungsweise für alle Elemente, d. h. dass alle Elemente jener
Strecke a eine gleiche Strecke b beschreiben. Die eine Strecke a
erscheint hier als die erzeugende, die andere b als das Mass der
Erzeugung, und das Ergebniss der Erzeugung ist, wenn a und b
ungleichartig sind, ein Theil des durch a und b bestimmten Syste-
mes zweiter Stufe, muss also als Ausdehnung zweiter Stufe aufge-
fasst werden. Wollen wir nun, wie es der Gang der Wissenschaft
fordert, dass die Ausdehnung zweiter Stufe zu dem System zweiter
Stufe dieselbe Beziehung haben soll, wie die Ausdehnung erster
Stufe zu dem System erster Stufe, so muss zuerst das System
zweiter Stufe als ein einfaches, d. h. aus gleichartigen Theilen be-
stehendes angesehen, und in diesem Sinne die Ausdehnung zwei-
ter Stufe als Theil dieses Systems und als wieder Theile desselben
in sich enthaltend aufgefasst werden, woraus denn folgt, dass zwei
Ausdehnungen zweiter Stufe, welche demselben Systeme zweiter
Stufe angehören, als gleichartig erscheinen und daher, wenn sie
in demselben Sinne erzeugt sind, zur Summe die Vereinigung bei-
der zu Einem Ganzen haben. Wir bezeichnen nun das auf diese
Weise aus a und b entstandene Erzeugniss vorläufig, nämlich so
lange, bis wir die Art dieser Verknüpfung näher bestimmt haben,
mit a-b, und verstehen vorläufig "unter a-b, wo a und b Strecken

4 *

§ 31 Erzeugung von Ausdehungen höherer St.
um in ihr den rein abstrakten, von aller Betrachtung des Raumes
unabhängigen Weg zu verfolgen.

§ 31. Im ersten Kapitel betrachteten wir die Ausdehnungen,
wie sie durch einfache Erzeugung aus dem Elemente hervorgingen;
und die Verknüpfung dieser Ausdehnungen, sofern dadurch wieder
Ausdehnungen derselben Gattung, d. h. solche, die ihrerseits wie-
der durch einfache Erzeugung aus dem Elemente ableitbar sind,
entstanden, haben wir vollständig der Betrachtung unterworfen,
und nachgewiesen, dass dieselbe als Addition oder Subtraktion
aufzufassen sei. Die weitere Entwickelung fordert also die Erzeu-
gung neuer Gattungen der Ausdehnung. Die Art dieser Erzeugung
ergiebt sich sogleich analog der Art, wie aus dem Elemente die
Ausdehnung erster Stufe erzeugt wurde, indem man nun auf gleiche
Weise die sämmtlichen Elemente einer Strecke wiederum einer
andern Erzeugung unterwerfen kann; und zwar fordert die Ein-
fachheit der neu zu erzeugenden Grösse die Gleichheit der Erzeu-
gungsweise für alle Elemente, d. h. dass alle Elemente jener
Strecke a eine gleiche Strecke b beschreiben. Die eine Strecke a
erscheint hier als die erzeugende, die andere b als das Mass der
Erzeugung, und das Ergebniss der Erzeugung ist, wenn a und b
ungleichartig sind, ein Theil des durch a und b bestimmten Syste-
mes zweiter Stufe, muss also als Ausdehnung zweiter Stufe aufge-
fasst werden. Wollen wir nun, wie es der Gang der Wissenschaft
fordert, dass die Ausdehnung zweiter Stufe zu dem System zweiter
Stufe dieselbe Beziehung haben soll, wie die Ausdehnung erster
Stufe zu dem System erster Stufe, so muss zuerst das System
zweiter Stufe als ein einfaches, d. h. aus gleichartigen Theilen be-
stehendes angesehen, und in diesem Sinne die Ausdehnung zwei-
ter Stufe als Theil dieses Systems und als wieder Theile desselben
in sich enthaltend aufgefasst werden, woraus denn folgt, dass zwei
Ausdehnungen zweiter Stufe, welche demselben Systeme zweiter
Stufe angehören, als gleichartig erscheinen und daher, wenn sie
in demselben Sinne erzeugt sind, zur Summe die Vereinigung bei-
der zu Einem Ganzen haben. Wir bezeichnen nun das auf diese
Weise aus a und b entstandene Erzeugniss vorläufig, nämlich so
lange, bis wir die Art dieser Verknüpfung näher bestimmt haben,
mit a⁀b, und verstehen vorläufig „unter a⁀b, wo a und b Strecken

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[51/0087] § 31 Erzeugung von Ausdehungen höherer St. um in ihr den rein abstrakten, von aller Betrachtung des Raumes unabhängigen Weg zu verfolgen. § 31. Im ersten Kapitel betrachteten wir die Ausdehnungen, wie sie durch einfache Erzeugung aus dem Elemente hervorgingen; und die Verknüpfung dieser Ausdehnungen, sofern dadurch wieder Ausdehnungen derselben Gattung, d. h. solche, die ihrerseits wie- der durch einfache Erzeugung aus dem Elemente ableitbar sind, entstanden, haben wir vollständig der Betrachtung unterworfen, und nachgewiesen, dass dieselbe als Addition oder Subtraktion aufzufassen sei. Die weitere Entwickelung fordert also die Erzeu- gung neuer Gattungen der Ausdehnung. Die Art dieser Erzeugung ergiebt sich sogleich analog der Art, wie aus dem Elemente die Ausdehnung erster Stufe erzeugt wurde, indem man nun auf gleiche Weise die sämmtlichen Elemente einer Strecke wiederum einer andern Erzeugung unterwerfen kann; und zwar fordert die Ein- fachheit der neu zu erzeugenden Grösse die Gleichheit der Erzeu- gungsweise für alle Elemente, d. h. dass alle Elemente jener Strecke a eine gleiche Strecke b beschreiben. Die eine Strecke a erscheint hier als die erzeugende, die andere b als das Mass der Erzeugung, und das Ergebniss der Erzeugung ist, wenn a und b ungleichartig sind, ein Theil des durch a und b bestimmten Syste- mes zweiter Stufe, muss also als Ausdehnung zweiter Stufe aufge- fasst werden. Wollen wir nun, wie es der Gang der Wissenschaft fordert, dass die Ausdehnung zweiter Stufe zu dem System zweiter Stufe dieselbe Beziehung haben soll, wie die Ausdehnung erster Stufe zu dem System erster Stufe, so muss zuerst das System zweiter Stufe als ein einfaches, d. h. aus gleichartigen Theilen be- stehendes angesehen, und in diesem Sinne die Ausdehnung zwei- ter Stufe als Theil dieses Systems und als wieder Theile desselben in sich enthaltend aufgefasst werden, woraus denn folgt, dass zwei Ausdehnungen zweiter Stufe, welche demselben Systeme zweiter Stufe angehören, als gleichartig erscheinen und daher, wenn sie in demselben Sinne erzeugt sind, zur Summe die Vereinigung bei- der zu Einem Ganzen haben. Wir bezeichnen nun das auf diese Weise aus a und b entstandene Erzeugniss vorläufig, nämlich so lange, bis wir die Art dieser Verknüpfung näher bestimmt haben, mit a⁀b, und verstehen vorläufig „unter a⁀b, wo a und b Strecken 4 *

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 51. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/87>, abgerufen am 02.05.2024.