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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 24 Geometrische Aufgaben u. Sätze.
indem ich statt [AB] nach dem allgemeinen Begriff der Summe
(§ 19.) schreibe [AR] + [RB] oder [RB] -- [RA], und eben so
statt [CD] den Ausdruck [RD] -- [RC] einführe u. s. w., und in-
dem ich dann [RA], [RC], ... mit umgekehrtem Zeichen auf die
andere Seite bringe, die Gleichung ableiten:
2) .... [RA] + [RC] + [RE] + .... = [RB] + [RD] + [RF] + ...,
wo beide Seiten gleich viel Glieder haben. Diese so einfache Um-
gestaltung führt direkt zu einer Reihe der schönsten und einfach-
sten Sätze, wenn man nur noch bedenkt, dass man aus der zwei-
ten Gleichung durch das rückgängige Verfahren wieder die erste
gewinnen kann. Nämlich erstens:

"Wenn die Gesammtabweichung eines Punktes R von einer
Punktreihe, gleich der Gesammtabweichung desselben Punktes
von einer andern Punktreihe ist, welche aber eben so viel
Punkte enthält, wie jene erste: so gilt dasselbe auch für jeden
andern Punkt, der statt R gesetzt werden mag, und es ist
ferner die Summe der Strecken, welche von den Punkten der
einen Reihe nach den entsprechenden der andern gezogen
werden, gleich Null, wie man auch immer jene beiden Punkt-
reihen als entsprechend setzen möge."

Ferner:

"Wenn die Summe mehrerer (m) Strecken null ist, so bleibt
die Summe auch null, wenn man die Anfangspunkte, oder
auch die Endpunkte beliebig unter sich vertauscht (z. B. statt
AB und CD setzt AD und CB), und zugleich ist die Gesammt-
abweichung der Endpunkte von jedem beliebigen Punkte R
stets gleich der Gesammtabweichung der Anfangspunkte von
demselben Punkte R."

Als besondere Fälle dieser allgemeinen Sätze erscheinen die, wo
einige Punkte oder alle Punkte der einen oder andern Reihe zu-
sammenfallen. Fallen alle m Punkte der einen Reihe in einen
Punkt S zusammen, so haben wir nun, da die Gesammtabweichung
dieser m Punkte gleich der m-fachen Abweichung des einen Punk-
tes S ist, die Sätze in folgender Gestalt:

"Wenn die Gesammtabweichung einer Reihe, welche m Punkte
enthält, von einem Punkte R, gleich ist der m-fachen Abweichung
eines Punktes S von demselben Punkt R, so gilt dasselbe

§ 24 Geometrische Aufgaben u. Sätze.
indem ich statt [AB] nach dem allgemeinen Begriff der Summe
(§ 19.) schreibe [AR] + [RB] oder [RB] — [RA], und eben so
statt [CD] den Ausdruck [RD] — [RC] einführe u. s. w., und in-
dem ich dann [RA], [RC], ... mit umgekehrtem Zeichen auf die
andere Seite bringe, die Gleichung ableiten:
2) .... [RA] + [RC] + [RE] + .... = [RB] + [RD] + [RF] + ...,
wo beide Seiten gleich viel Glieder haben. Diese so einfache Um-
gestaltung führt direkt zu einer Reihe der schönsten und einfach-
sten Sätze, wenn man nur noch bedenkt, dass man aus der zwei-
ten Gleichung durch das rückgängige Verfahren wieder die erste
gewinnen kann. Nämlich erstens:

„Wenn die Gesammtabweichung eines Punktes R von einer
Punktreihe, gleich der Gesammtabweichung desselben Punktes
von einer andern Punktreihe ist, welche aber eben so viel
Punkte enthält, wie jene erste: so gilt dasselbe auch für jeden
andern Punkt, der statt R gesetzt werden mag, und es ist
ferner die Summe der Strecken, welche von den Punkten der
einen Reihe nach den entsprechenden der andern gezogen
werden, gleich Null, wie man auch immer jene beiden Punkt-
reihen als entsprechend setzen möge.“

Ferner:

„Wenn die Summe mehrerer (m) Strecken null ist, so bleibt
die Summe auch null, wenn man die Anfangspunkte, oder
auch die Endpunkte beliebig unter sich vertauscht (z. B. statt
AB und CD setzt AD und CB), und zugleich ist die Gesammt-
abweichung der Endpunkte von jedem beliebigen Punkte R
stets gleich der Gesammtabweichung der Anfangspunkte von
demselben Punkte R.“

Als besondere Fälle dieser allgemeinen Sätze erscheinen die, wo
einige Punkte oder alle Punkte der einen oder andern Reihe zu-
sammenfallen. Fallen alle m Punkte der einen Reihe in einen
Punkt S zusammen, so haben wir nun, da die Gesammtabweichung
dieser m Punkte gleich der m-fachen Abweichung des einen Punk-
tes S ist, die Sätze in folgender Gestalt:

„Wenn die Gesammtabweichung einer Reihe, welche m Punkte
enthält, von einem Punkte R, gleich ist der m-fachen Abweichung
eines Punktes S von demselben Punkt R, so gilt dasselbe
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[41/0077] § 24 Geometrische Aufgaben u. Sätze. indem ich statt [AB] nach dem allgemeinen Begriff der Summe (§ 19.) schreibe [AR] + [RB] oder [RB] — [RA], und eben so statt [CD] den Ausdruck [RD] — [RC] einführe u. s. w., und in- dem ich dann [RA], [RC], ... mit umgekehrtem Zeichen auf die andere Seite bringe, die Gleichung ableiten: 2) .... [RA] + [RC] + [RE] + .... = [RB] + [RD] + [RF] + ..., wo beide Seiten gleich viel Glieder haben. Diese so einfache Um- gestaltung führt direkt zu einer Reihe der schönsten und einfach- sten Sätze, wenn man nur noch bedenkt, dass man aus der zwei- ten Gleichung durch das rückgängige Verfahren wieder die erste gewinnen kann. Nämlich erstens: „Wenn die Gesammtabweichung eines Punktes R von einer Punktreihe, gleich der Gesammtabweichung desselben Punktes von einer andern Punktreihe ist, welche aber eben so viel Punkte enthält, wie jene erste: so gilt dasselbe auch für jeden andern Punkt, der statt R gesetzt werden mag, und es ist ferner die Summe der Strecken, welche von den Punkten der einen Reihe nach den entsprechenden der andern gezogen werden, gleich Null, wie man auch immer jene beiden Punkt- reihen als entsprechend setzen möge.“ Ferner: „Wenn die Summe mehrerer (m) Strecken null ist, so bleibt die Summe auch null, wenn man die Anfangspunkte, oder auch die Endpunkte beliebig unter sich vertauscht (z. B. statt AB und CD setzt AD und CB), und zugleich ist die Gesammt- abweichung der Endpunkte von jedem beliebigen Punkte R stets gleich der Gesammtabweichung der Anfangspunkte von demselben Punkte R.“ Als besondere Fälle dieser allgemeinen Sätze erscheinen die, wo einige Punkte oder alle Punkte der einen oder andern Reihe zu- sammenfallen. Fallen alle m Punkte der einen Reihe in einen Punkt S zusammen, so haben wir nun, da die Gesammtabweichung dieser m Punkte gleich der m-fachen Abweichung des einen Punk- tes S ist, die Sätze in folgender Gestalt: „Wenn die Gesammtabweichung einer Reihe, welche m Punkte enthält, von einem Punkte R, gleich ist der m-fachen Abweichung eines Punktes S von demselben Punkt R, so gilt dasselbe

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/77>, abgerufen am 01.05.2024.