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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 21
neue einführen kann, sobald sie nur dem gegebenen Systeme an-
gehört, und von den übrigen (beibehaltenen) unabhängig ist. Und
da man dies Verfahren fortsetzen kann, so folgt, dass man dasselbe
System durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben er-
zeugen kann oder
"Jede Strecke eines Systems m-ter Stufe kann als Summe
von m Strecken, welche m gegebenen unabhängigen Aende-
rungsweisen des Systems angehören, dargestellt werden, aber
auch jedesmal nur auf eine Art."
Es ist somit das System unabhängig gemacht von der Auswahl der
m unabhängigen Aenderungsweisen, wir haben es noch vom An-
fangselemente unabhängig zu machen. Es sei das ursprünglich
angenommene Anfangselement a, man mache statt dessen ein an-
deres Element des Systems b zum Anfangselement. Ist nun g
irgend ein drittes Element, so hat man
[Formel 1] Sind nun [ba] und [ag] durch die angenommenen Aenderungs-
weisen darstellbar, so wird es auch [bg] als ihre Summe sein,
d. h. jedes Element, was durch die angenommenen Aenderungs-
weisen aus a erzeugbar ist, ist auch durch dieselben aus jedem
andern Elemente erzeugbar; also:
"Jedes System m-ter Stufe kann erzeugt gedacht werden
durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben aus jedem
beliebigen Element desselben, d. h. aus Einem solchen Ele-
mente können alle übrigen durch jene Aenderungsweisen er-
zeugt werden."
Hierdurch ist nun das System höherer Stufe als für sich bestehen-
des eigenthümliches Gebilde dargelegt.

§ 21. Ich schreite nun zu den Anwendungen und zwar zu-
nächst auf die Geometrie, will jedoch zuvor versuchen, einen rein
wissenschaftlichen Anfang für die Geometrie selbst und zwar un-
abhängig von unserer Wissenschaft wenigstens andeutungsweise zu
entwerfen, um so die Uebereinstimmung und Abweichung in dem
Gange beider Disciplinen desto besser zu übersehen. Ich behaupte
nämlich, dass die Geometrie noch immer eines wissenschaftlichen
Anfangs entbehre, und dass die Grundlage für das ganze Gebäude
der Geometrie bisher an einem Gebrechen leide, welches einen

Addition u. Subtr. der Strecken. § 21
neue einführen kann, sobald sie nur dem gegebenen Systeme an-
gehört, und von den übrigen (beibehaltenen) unabhängig ist. Und
da man dies Verfahren fortsetzen kann, so folgt, dass man dasselbe
System durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben er-
zeugen kann oder
„Jede Strecke eines Systems m-ter Stufe kann als Summe
von m Strecken, welche m gegebenen unabhängigen Aende-
rungsweisen des Systems angehören, dargestellt werden, aber
auch jedesmal nur auf eine Art.“
Es ist somit das System unabhängig gemacht von der Auswahl der
m unabhängigen Aenderungsweisen, wir haben es noch vom An-
fangselemente unabhängig zu machen. Es sei das ursprünglich
angenommene Anfangselement α, man mache statt dessen ein an-
deres Element des Systems β zum Anfangselement. Ist nun γ
irgend ein drittes Element, so hat man
[Formel 1] Sind nun [βα] und [αγ] durch die angenommenen Aenderungs-
weisen darstellbar, so wird es auch [βγ] als ihre Summe sein,
d. h. jedes Element, was durch die angenommenen Aenderungs-
weisen aus α erzeugbar ist, ist auch durch dieselben aus jedem
andern Elemente erzeugbar; also:
„Jedes System m-ter Stufe kann erzeugt gedacht werden
durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben aus jedem
beliebigen Element desselben, d. h. aus Einem solchen Ele-
mente können alle übrigen durch jene Aenderungsweisen er-
zeugt werden.“
Hierdurch ist nun das System höherer Stufe als für sich bestehen-
des eigenthümliches Gebilde dargelegt.

§ 21. Ich schreite nun zu den Anwendungen und zwar zu-
nächst auf die Geometrie, will jedoch zuvor versuchen, einen rein
wissenschaftlichen Anfang für die Geometrie selbst und zwar un-
abhängig von unserer Wissenschaft wenigstens andeutungsweise zu
entwerfen, um so die Uebereinstimmung und Abweichung in dem
Gange beider Disciplinen desto besser zu übersehen. Ich behaupte
nämlich, dass die Geometrie noch immer eines wissenschaftlichen
Anfangs entbehre, und dass die Grundlage für das ganze Gebäude
der Geometrie bisher an einem Gebrechen leide, welches einen

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[32/0068] Addition u. Subtr. der Strecken. § 21 neue einführen kann, sobald sie nur dem gegebenen Systeme an- gehört, und von den übrigen (beibehaltenen) unabhängig ist. Und da man dies Verfahren fortsetzen kann, so folgt, dass man dasselbe System durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben er- zeugen kann oder „Jede Strecke eines Systems m-ter Stufe kann als Summe von m Strecken, welche m gegebenen unabhängigen Aende- rungsweisen des Systems angehören, dargestellt werden, aber auch jedesmal nur auf eine Art.“ Es ist somit das System unabhängig gemacht von der Auswahl der m unabhängigen Aenderungsweisen, wir haben es noch vom An- fangselemente unabhängig zu machen. Es sei das ursprünglich angenommene Anfangselement α, man mache statt dessen ein an- deres Element des Systems β zum Anfangselement. Ist nun γ irgend ein drittes Element, so hat man [FORMEL] Sind nun [βα] und [αγ] durch die angenommenen Aenderungs- weisen darstellbar, so wird es auch [βγ] als ihre Summe sein, d. h. jedes Element, was durch die angenommenen Aenderungs- weisen aus α erzeugbar ist, ist auch durch dieselben aus jedem andern Elemente erzeugbar; also: „Jedes System m-ter Stufe kann erzeugt gedacht werden durch je m unabhängige Aenderungsweisen desselben aus jedem beliebigen Element desselben, d. h. aus Einem solchen Ele- mente können alle übrigen durch jene Aenderungsweisen er- zeugt werden.“ Hierdurch ist nun das System höherer Stufe als für sich bestehen- des eigenthümliches Gebilde dargelegt. § 21. Ich schreite nun zu den Anwendungen und zwar zu- nächst auf die Geometrie, will jedoch zuvor versuchen, einen rein wissenschaftlichen Anfang für die Geometrie selbst und zwar un- abhängig von unserer Wissenschaft wenigstens andeutungsweise zu entwerfen, um so die Uebereinstimmung und Abweichung in dem Gange beider Disciplinen desto besser zu übersehen. Ich behaupte nämlich, dass die Geometrie noch immer eines wissenschaftlichen Anfangs entbehre, und dass die Grundlage für das ganze Gebäude der Geometrie bisher an einem Gebrechen leide, welches einen

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 32. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/68>, abgerufen am 02.05.2024.