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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 158
Affinität einem System derselben Stufe angehören, bei der recipro-
ken einem System von ergänzender Stufe, weil nämlich das Produkt
derselben gleichzeitig null wird.

§ 158. Wir haben nun die Abschattung als besondere Art der
konstanten Zahlenrelation und der Affinität darzustellen, und anzu-
geben, in welchem Falle die allgemeine Verwandtschaft in diese
besondere übergeht.

Wenn zuerst zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins
A dieselben Zahlenrelationen statt finden, welche zwischen den ent-
sprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereines B herr-
schen, so fragt sich, welcher Bedingung beide Vereine unterworfen
sein müssen, wenn der erste Verein A zugleich die Abschattung
des zweiten B sein soll. Nennen wir das System, welches einen
Verein von Grössen erster Stufe zunächst umfasst, das System die-
ses Vereins, so leuchtet ein, dass A nur dann die Abschattung von
B sein könne, wenn in demjenigen Systeme C, welches den Syste-
men beider Vereine gemeinschaftlich ist, die entsprechenden Grös-
sen beider Vereine zusammenfallen, d. h. einander gleich sind,
wie dies unmittelbar aus der Idee der Abschattung hervorgeht.
Wir können aber auch zeigen, dass, wenn diese Bedingung eintritt,
auch jedesmal der Verein A als Abschattung des Vereines B aufge-
fasst werden könne, und der Sinn der Abschattung dann bestimmt
sei. Um dies zu beweisen, können wir zuerst das System von B
als Kombination des gemeinschaftlichen Systemes C mit einem da-
von unabhängigen Systeme darstellen. Dies System, welches dann
zugleich von dem Systeme des Vereines A unabhängig sein wird,
sei von m-ter Stufe, d. h. es sei durch das äussere Produkt von m
Grössen erster Stufe b1 .... bm dargestellt, welche alle von einan-
der unabhängig sind. Wird nun vorläufig L als das Leitsystem an-
genommen, und sind a1 .... am die den Grössen b1 ... bm ent-
sprechenden Grössen des ersten Vereins A, so erhält man, wenn zu-
gleich a1 .... am die Abschattungen von b1 ... bm nach dem Leit-
systeme L sein sollen, die Gleichungen:
[Formel 1] ,
oder
[Formel 2] ;
d. h. die Grössen (a1 -- b1), .... (am -- bm) sind dem Leitsysteme

Verwandtschaftsbeziehungen. § 158
Affinität einem System derselben Stufe angehören, bei der recipro-
ken einem System von ergänzender Stufe, weil nämlich das Produkt
derselben gleichzeitig null wird.

§ 158. Wir haben nun die Abschattung als besondere Art der
konstanten Zahlenrelation und der Affinität darzustellen, und anzu-
geben, in welchem Falle die allgemeine Verwandtschaft in diese
besondere übergeht.

Wenn zuerst zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins
A dieselben Zahlenrelationen statt finden, welche zwischen den ent-
sprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereines B herr-
schen, so fragt sich, welcher Bedingung beide Vereine unterworfen
sein müssen, wenn der erste Verein A zugleich die Abschattung
des zweiten B sein soll. Nennen wir das System, welches einen
Verein von Grössen erster Stufe zunächst umfasst, das System die-
ses Vereins, so leuchtet ein, dass A nur dann die Abschattung von
B sein könne, wenn in demjenigen Systeme C, welches den Syste-
men beider Vereine gemeinschaftlich ist, die entsprechenden Grös-
sen beider Vereine zusammenfallen, d. h. einander gleich sind,
wie dies unmittelbar aus der Idee der Abschattung hervorgeht.
Wir können aber auch zeigen, dass, wenn diese Bedingung eintritt,
auch jedesmal der Verein A als Abschattung des Vereines B aufge-
fasst werden könne, und der Sinn der Abschattung dann bestimmt
sei. Um dies zu beweisen, können wir zuerst das System von B
als Kombination des gemeinschaftlichen Systemes C mit einem da-
von unabhängigen Systeme darstellen. Dies System, welches dann
zugleich von dem Systeme des Vereines A unabhängig sein wird,
sei von m-ter Stufe, d. h. es sei durch das äussere Produkt von m
Grössen erster Stufe b1 .... bm dargestellt, welche alle von einan-
der unabhängig sind. Wird nun vorläufig L als das Leitsystem an-
genommen, und sind a1 .... am die den Grössen b1 ... bm ent-
sprechenden Grössen des ersten Vereins A, so erhält man, wenn zu-
gleich a1 .... am die Abschattungen von b1 ... bm nach dem Leit-
systeme L sein sollen, die Gleichungen:
[Formel 1] ,
oder
[Formel 2] ;
d. h. die Grössen (a1 — b1), .... (am — bm) sind dem Leitsysteme

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[244/0280] Verwandtschaftsbeziehungen. § 158 Affinität einem System derselben Stufe angehören, bei der recipro- ken einem System von ergänzender Stufe, weil nämlich das Produkt derselben gleichzeitig null wird. § 158. Wir haben nun die Abschattung als besondere Art der konstanten Zahlenrelation und der Affinität darzustellen, und anzu- geben, in welchem Falle die allgemeine Verwandtschaft in diese besondere übergeht. Wenn zuerst zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins A dieselben Zahlenrelationen statt finden, welche zwischen den ent- sprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereines B herr- schen, so fragt sich, welcher Bedingung beide Vereine unterworfen sein müssen, wenn der erste Verein A zugleich die Abschattung des zweiten B sein soll. Nennen wir das System, welches einen Verein von Grössen erster Stufe zunächst umfasst, das System die- ses Vereins, so leuchtet ein, dass A nur dann die Abschattung von B sein könne, wenn in demjenigen Systeme C, welches den Syste- men beider Vereine gemeinschaftlich ist, die entsprechenden Grös- sen beider Vereine zusammenfallen, d. h. einander gleich sind, wie dies unmittelbar aus der Idee der Abschattung hervorgeht. Wir können aber auch zeigen, dass, wenn diese Bedingung eintritt, auch jedesmal der Verein A als Abschattung des Vereines B aufge- fasst werden könne, und der Sinn der Abschattung dann bestimmt sei. Um dies zu beweisen, können wir zuerst das System von B als Kombination des gemeinschaftlichen Systemes C mit einem da- von unabhängigen Systeme darstellen. Dies System, welches dann zugleich von dem Systeme des Vereines A unabhängig sein wird, sei von m-ter Stufe, d. h. es sei durch das äussere Produkt von m Grössen erster Stufe b1 .... bm dargestellt, welche alle von einan- der unabhängig sind. Wird nun vorläufig L als das Leitsystem an- genommen, und sind a1 .... am die den Grössen b1 ... bm ent- sprechenden Grössen des ersten Vereins A, so erhält man, wenn zu- gleich a1 .... am die Abschattungen von b1 ... bm nach dem Leit- systeme L sein sollen, die Gleichungen: [FORMEL], oder [FORMEL]; d. h. die Grössen (a1 — b1), .... (am — bm) sind dem Leitsysteme

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 244. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/280>, abgerufen am 22.11.2024.