Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Das eingewandte Produkt. § 129

„Wenn in einem Produkte zweier geltenden Werthe die Stufen-
summe der Faktoren kleiner ist als die Beziehungszahl, so ist
das Produkt ein äusseres; ist jene Summe grösser, so ist das
Produkt ein eingewandtes und zwar von so vielter Stufe, als
der Ueberschuss jener Summe über die Beziehungszahl be-
trägt; ist endlich jene Summe dieser Zahl gleich, so kann das
Produkt sowohl als äusseres, wie auch als eingewandtes null-
ter Stufe betrachtet werden.“

Durch die Einführung des Beziehungssystemes oder des Haupt-
systemes haben wir somit den wichtigen Vortheil errungen, dass
es nun, wenn einmal das Beziehungssystem als Hauptsystem fest-
steht, nicht mehr nöthig ist, für das Produkt zweier Grössen die
Multiplikationsweise noch besonders festzustellen, dass es daher
nun auch als überflüssig erscheint, die äussere Multiplikation von
der eingewandten oder die verschiedenen Grade der letzteren durch
die Bezeichnung zu unterscheiden. ^*)

§ 129. Um nun den geltenden Werth eines realen einge-
wandten Produktes in einen einfachen Begriff zu fassen, müssen
wir für das gegebene Produkt, dessen Werth zu ermitteln ist, alle
Formen aufsuchen, in welchen es sich vermöge der in der Defini-
tion festgestellten formellen Multiplikationsgesetze darstellen lässt,
ohne seinen Werth zu ändern. Das, was dann allen diesen For-
men gemeinschaftlich ist, wird den Werth dieses Produktes unter
einen einfachen Begriff gefasst darstellen. Die vermöge der Defi-

*) Zugleich haben wir hierdurch den Vortheil einer leichteren Anwendbar-
keit auf die Raumlehre gewonnen. Betrachten wir z. B. die Ebene, also ein Ele-
mentarsystem dritter Stufe, als Hauptsystem, wie dies überall in der Planimetrie
geschieht, so wird das Produkt zweier Elementargrössen in Bezug auf dies Sy-
stem dann und nur dann null sein, wenn sie von einander abhängig sind, und zu-
gleich einem System zweiter Stufe angehören, d. h. wenn sie Punkte oder Rich-
tungen gemeinschaftlich haben und zugleich in Einer geraden Linie liegen. Be-
trachten wir ferner den Raum, d. h. also ein Elementarsystem vierter Stufe als
Hauptsystem, wie dies in der Stereometrie als solcher geschieht, so wird das
darauf bezügliche Produkt zweier Elementargrössen dann und nur nur dann null
sein, wenn sie in derselben Ebene liegen und zugleich von einander abhängig
sind, d. h. Punkte oder Richtungen gemeinschaftlich haben; z. B. das Produkt
zweier Liniengrössen, welche sich schneiden oder einander parallel sind, das
zweier Ebenen, wenn sie in einander liegen u. s. w.