Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Multiplikation der Elementargrössen. § 123

[Formel 1] wo die rechte Seite zwei Kräfte darstellt. Da endlich zwei Ver-
eine von Kräften, welche gleiche Summen haben, einander gleich-
wirkend sind, wie wir oben zeigten, so hat man den Satz, „dass
sich jede Reihe von Kräften im Raume auf zwei Kräfte oder auf
eine Kraft und ein Moment zurückführen lassen, welche ihnen
gleichwirkend sind und dieselbe Summe liefern, wie jene Kräfte.“
Hieran schliesst sich sogleich die Folgerung, „dass mehrere Kräf-
ten auch nur dann im Gleichgewicht sind, wenn ihre Summe null
ist“; denn auf zwei ihnen gleichwirkende Kräfte, welche auch die-
selbe Summe liefern, lassen sie sich zurückführen, aber zwei Kräfte
sind nach der zweiten Voraussetzung nur dann im Gleichgewichte,
wenn ihre Summe null ist, alsdann wird aber auch die Summe der
gegebenen Kräfte, da sie dieselbe ist, null sein; also ist jener Satz
bewiesen. Wenn nun zwei Vereine von Kräften einander gleich-
wirkend sind, so müssen die des einen Vereins mit den entgegen-
gesetzt genommenen Kräften des andern (nach der Definition des
Gleichwirkens) zusammengesetzt Gleichgewicht geben, d. h. nach
dem vorigen Satze ihre Summe muss null sein, also müssen dann
die Kräfte des einen Vereins dieselbe Summe liefern, wie die des
andern, somit haben wir bewiesen, „dass zwei Vereine gleichwir-
kender Kräfte nothwendig gleiche Summen liefern.“ Fassen wir
diesen Satz mit dem umgekehrten, den wir vorher bewiesen haben,
zusammen, so erhalten wir den Satz:

„Dass zwei Vereine von Kräften dann und nur dann einander
gleichwirkend sind, wenn sie gleiche Summen liefern.“

Dieser Satz berechtigt uns die Gesammtwirkung mehrerer Kräfte
als die Wirkung ihrer Summe aufzufassen, auch dann, wenn diese
Summe sich nicht mehr als einzelne Kraft darstellen lässt; wir ha-
ben somit den allgemeinen Satz:

„Zwei oder mehrere Kräfte sind ihrer Summe gleichwirkend,
und sind nur dann im Gleichgewichte, wenn ihre Summe null
ist.“

Dieser Satz umfasst alle früheren, und erscheint als deren End-
resultat.

§ 123. Dass nun zwei Vereine gleichwirkender Kräfte in Be-
zug auf jeden Punkt und jede Axe gleiches Gesammtmoment ha-