Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 122 Kräftepaare. -- Kräfte im Raume. dies nicht der Fall ist. Vermöge dieser formellen Bedeutung wur-den zwei solche Summen einander gleich gesetzt, wenn sie durch Anwendung der realen Addition und der allgemeinen additiven Ver- knüpfungsgesetze sich auf denselben Ausdruck zurückführen lassen. Betrachten wir nun zwei solche Summen von Kräften im Raume, welche sich auf diese Weise auf denselben Ausdruck zurückführen lassen, und bedenken, dass bei der realen Addition, weil dabei die Kräfte in Einer Ebene liegen, die Summe der Kräfte jedesmal der Gesammtheit der einzelnen Kräfte, welche ihre Stücke bilden, gleich- wirkend sei: so folgt, dass bei jener Umwandlung der formellen Summe in eine ihr gleiche, jedesmal die Kräfte, welche diese Summe bilden, einander gleichwirkend bleiben, also "dass zwei Vereine von Kräften, welche gleiche Summe darbieten, allemal ein- ander gleichwirkend sind", also auch, "dass eine Reihe von Kräf- ten, deren Summe null ist, im Gleichgewicht ist". Nun können wir ferner jede Summe von Kräften auf Eine Kraft, deren Angritfs- punkt willkührlich ist, und Ein Moment, oder auch auf zwei Kräfte zurückführen; in der That setzen wir die Summe mehrerer Kräfte gleich [Formel 1] wo a ein Element, p eine Strecke, ap also eine Kraft, M aber eine Ausdehnung zweiter Stufe, also ein Moment darstellt: so werden nach den oben dargestellten Sätzen beide Ausdrücke dann und nur dann gleich sein, wenn sie gleiche Ausweichung und von irgend einem Elemente z. B. a gleiche Abweichung haben; es muss also dann p gleich der Summe aller Ausweichungen, welche die einzel- nen Kräfte darbieten, und M gleich der Summe aller Abweichun- gen von dem Elemente a sein; da aber beide Summen stets real sind, die erste als Summe von Strecken, die letzte als Summe von Elementargrössen dritter Stufe in einem Systeme vierter Stufe, so lässt sich jene Reihe von Kräften allemal auf die angegebene Form bringen, und zwar ist a willkührlich, dann aber p und M bestimmt. Kann man nun jene Kraftsumme auf den Ausdruck ap + M brin- gen, so kann man sie auch auf die Summe zweier Kräfte bringen; ist z. B. M gleich rs, so kann man von dem Gliede ap das Glied as subtrahiren und dasselbe Glied zu M addiren, ohne den Werth der Summe zu ändern, und erhält so 12
§ 122 Kräftepaare. — Kräfte im Raume. dies nicht der Fall ist. Vermöge dieser formellen Bedeutung wur-den zwei solche Summen einander gleich gesetzt, wenn sie durch Anwendung der realen Addition und der allgemeinen additiven Ver- knüpfungsgesetze sich auf denselben Ausdruck zurückführen lassen. Betrachten wir nun zwei solche Summen von Kräften im Raume, welche sich auf diese Weise auf denselben Ausdruck zurückführen lassen, und bedenken, dass bei der realen Addition, weil dabei die Kräfte in Einer Ebene liegen, die Summe der Kräfte jedesmal der Gesammtheit der einzelnen Kräfte, welche ihre Stücke bilden, gleich- wirkend sei: so folgt, dass bei jener Umwandlung der formellen Summe in eine ihr gleiche, jedesmal die Kräfte, welche diese Summe bilden, einander gleichwirkend bleiben, also „dass zwei Vereine von Kräften, welche gleiche Summe darbieten, allemal ein- ander gleichwirkend sind“, also auch, „dass eine Reihe von Kräf- ten, deren Summe null ist, im Gleichgewicht ist“. Nun können wir ferner jede Summe von Kräften auf Eine Kraft, deren Angritfs- punkt willkührlich ist, und Ein Moment, oder auch auf zwei Kräfte zurückführen; in der That setzen wir die Summe mehrerer Kräfte gleich [Formel 1] wo α ein Element, p eine Strecke, αp also eine Kraft, M aber eine Ausdehnung zweiter Stufe, also ein Moment darstellt: so werden nach den oben dargestellten Sätzen beide Ausdrücke dann und nur dann gleich sein, wenn sie gleiche Ausweichung und von irgend einem Elemente z. B. α gleiche Abweichung haben; es muss also dann p gleich der Summe aller Ausweichungen, welche die einzel- nen Kräfte darbieten, und M gleich der Summe aller Abweichun- gen von dem Elemente α sein; da aber beide Summen stets real sind, die erste als Summe von Strecken, die letzte als Summe von Elementargrössen dritter Stufe in einem Systeme vierter Stufe, so lässt sich jene Reihe von Kräften allemal auf die angegebene Form bringen, und zwar ist α willkührlich, dann aber p und M bestimmt. Kann man nun jene Kraftsumme auf den Ausdruck αp + M brin- gen, so kann man sie auch auf die Summe zweier Kräfte bringen; ist z. B. M gleich rs, so kann man von dem Gliede αp das Glied αs subtrahiren und dasselbe Glied zu M addiren, ohne den Werth der Summe zu ändern, und erhält so 12
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§ 122 Kräftepaare. — Kräfte im Raume.
dies nicht der Fall ist. Vermöge dieser formellen Bedeutung wur-
den zwei solche Summen einander gleich gesetzt, wenn sie durch
Anwendung der realen Addition und der allgemeinen additiven Ver-
knüpfungsgesetze sich auf denselben Ausdruck zurückführen lassen.
Betrachten wir nun zwei solche Summen von Kräften im Raume,
welche sich auf diese Weise auf denselben Ausdruck zurückführen
lassen, und bedenken, dass bei der realen Addition, weil dabei die
Kräfte in Einer Ebene liegen, die Summe der Kräfte jedesmal der
Gesammtheit der einzelnen Kräfte, welche ihre Stücke bilden, gleich-
wirkend sei: so folgt, dass bei jener Umwandlung der formellen
Summe in eine ihr gleiche, jedesmal die Kräfte, welche diese
Summe bilden, einander gleichwirkend bleiben, also „dass zwei
Vereine von Kräften, welche gleiche Summe darbieten, allemal ein-
ander gleichwirkend sind“, also auch, „dass eine Reihe von Kräf-
ten, deren Summe null ist, im Gleichgewicht ist“. Nun können
wir ferner jede Summe von Kräften auf Eine Kraft, deren Angritfs-
punkt willkührlich ist, und Ein Moment, oder auch auf zwei Kräfte
zurückführen; in der That setzen wir die Summe mehrerer Kräfte
gleich
[FORMEL] wo α ein Element, p eine Strecke, αp also eine Kraft, M aber eine
Ausdehnung zweiter Stufe, also ein Moment darstellt: so werden
nach den oben dargestellten Sätzen beide Ausdrücke dann und nur
dann gleich sein, wenn sie gleiche Ausweichung und von irgend
einem Elemente z. B. α gleiche Abweichung haben; es muss also
dann p gleich der Summe aller Ausweichungen, welche die einzel-
nen Kräfte darbieten, und M gleich der Summe aller Abweichun-
gen von dem Elemente α sein; da aber beide Summen stets real
sind, die erste als Summe von Strecken, die letzte als Summe von
Elementargrössen dritter Stufe in einem Systeme vierter Stufe, so
lässt sich jene Reihe von Kräften allemal auf die angegebene Form
bringen, und zwar ist α willkührlich, dann aber p und M bestimmt.
Kann man nun jene Kraftsumme auf den Ausdruck αp + M brin-
gen, so kann man sie auch auf die Summe zweier Kräfte bringen;
ist z. B. M gleich rs, so kann man von dem Gliede αp das Glied
αs subtrahiren und dasselbe Glied zu M addiren, ohne den Werth
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