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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 120
derum die Ordnung der Faktoren gleichgültig ist. Die Gleichung,
welche man auf diese Weise gewinnt, ist, wenn man unter x, y, z
etc. jetzt die Zeiger versteht; folgende:
(y2z3 -- y3z2 + y3z1 -- y1z3 + y1z2 -- y2z1) x
+ (z2x3 -- z3x2 + z3x1 -- z1x3 + z1x2 -- z2x1) y
+ (x2y3 -- x3y2 + x3y1 -- x1y3 + x1y2 -- x2y1) z
= x1y2z3 -- x1y3z2 + x3y1z2 -- x3y2z1 + x2y3z1 -- x2y1z3.

Diese Gleichung, welche sich durch die gewöhnliche Analyse
nicht auf eine einfachere Form reduciren lässt, sagt, so weitläuftig
sie auch erscheint, dennoch nichts weiter aus, als jene ursprüng-
liche Gleichung
a . b . g . s = 0,
und enthält die kürzeste Lösung des obigen Problems, welche auf
dem Wege der Koordinaten möglich ist. Man sieht hier in einem
recht schlagenden Beispiel den Vortheil unserer Methode, und die
Formelverwickelungen, in die man hineingeräth, sobald man diese
Methode aufgiebt.

§ 120. Indem ich die Darstellung der geometrischen Abschat-
tung und Projektion, wie auch der verschiedenen Verwandtschafts-
systeme einem späteren Kapitel *), in welchem diese Begriffe in ei-
nem noch grösseren Umfange ans Licht treten werden, vorbehalte,
so schreite ich nun zu den Anwendungen auf die Statik. Der Be-
griff des Momentes tritt zuerst hier in seiner ganzen Einfachheit
auf, wie auch der Begriff der Kraft erst hier seine Darstellung fin-
det, indem wir die Kraft als Liniengrösse, also als Elementargrösse
zweiter Stufe auffassen. Unter dem Moment einer Kraft ab in Be-
zug auf einen Punkt r verstanden wir oben das Produkt
[ra] . [ab] oder (a -- r) . (b -- a);
multipliciren wir diesen Werth noch mit dem Elemente r, so er-
scheint das Moment als Ausweichung der so entstehenden Elemen-
targrösse r . (a -- r) (b -- a); diese ist aber nach dem bekannten
Gesetz der äusseren Multiplikation gleich
r . a . b,
somit können wir das Moment in Bezug auf einen Punkt definiren
als Ausweichung eines Produkts, dessen erster Faktor der Be-

*) Kap. IV dieses Abschnittes.

Multiplikation der Elementargrössen. § 120
derum die Ordnung der Faktoren gleichgültig ist. Die Gleichung,
welche man auf diese Weise gewinnt, ist, wenn man unter x, y, z
etc. jetzt die Zeiger versteht; folgende:
(y2z3 — y3z2 + y3z1 — y1z3 + y1z2 — y2z1) x
+ (z2x3 — z3x2 + z3x1 — z1x3 + z1x2 — z2x1) y
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= x1y2z3 — x1y3z2 + x3y1z2 — x3y2z1 + x2y3z1 — x2y1z3.

Diese Gleichung, welche sich durch die gewöhnliche Analyse
nicht auf eine einfachere Form reduciren lässt, sagt, so weitläuftig
sie auch erscheint, dennoch nichts weiter aus, als jene ursprüng-
liche Gleichung
α . β . γ . σ = 0,
und enthält die kürzeste Lösung des obigen Problems, welche auf
dem Wege der Koordinaten möglich ist. Man sieht hier in einem
recht schlagenden Beispiel den Vortheil unserer Methode, und die
Formelverwickelungen, in die man hineingeräth, sobald man diese
Methode aufgiebt.

§ 120. Indem ich die Darstellung der geometrischen Abschat-
tung und Projektion, wie auch der verschiedenen Verwandtschafts-
systeme einem späteren Kapitel *), in welchem diese Begriffe in ei-
nem noch grösseren Umfange ans Licht treten werden, vorbehalte,
so schreite ich nun zu den Anwendungen auf die Statik. Der Be-
griff des Momentes tritt zuerst hier in seiner ganzen Einfachheit
auf, wie auch der Begriff der Kraft erst hier seine Darstellung fin-
det, indem wir die Kraft als Liniengrösse, also als Elementargrösse
zweiter Stufe auffassen. Unter dem Moment einer Kraft αβ in Be-
zug auf einen Punkt ρ verstanden wir oben das Produkt
[ρα] . [αβ] oder (α — ρ) . (β — α);
multipliciren wir diesen Werth noch mit dem Elemente ρ, so er-
scheint das Moment als Ausweichung der so entstehenden Elemen-
targrösse ρ . (α — ρ) (β — α); diese ist aber nach dem bekannten
Gesetz der äusseren Multiplikation gleich
ρ . α . β,
somit können wir das Moment in Bezug auf einen Punkt definiren
als Ausweichung eines Produkts, dessen erster Faktor der Be-

*) Kap. IV dieses Abschnittes.
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[172/0208] Multiplikation der Elementargrössen. § 120 derum die Ordnung der Faktoren gleichgültig ist. Die Gleichung, welche man auf diese Weise gewinnt, ist, wenn man unter x, y, z etc. jetzt die Zeiger versteht; folgende: (y2z3 — y3z2 + y3z1 — y1z3 + y1z2 — y2z1) x + (z2x3 — z3x2 + z3x1 — z1x3 + z1x2 — z2x1) y + (x2y3 — x3y2 + x3y1 — x1y3 + x1y2 — x2y1) z = x1y2z3 — x1y3z2 + x3y1z2 — x3y2z1 + x2y3z1 — x2y1z3. Diese Gleichung, welche sich durch die gewöhnliche Analyse nicht auf eine einfachere Form reduciren lässt, sagt, so weitläuftig sie auch erscheint, dennoch nichts weiter aus, als jene ursprüng- liche Gleichung α . β . γ . σ = 0, und enthält die kürzeste Lösung des obigen Problems, welche auf dem Wege der Koordinaten möglich ist. Man sieht hier in einem recht schlagenden Beispiel den Vortheil unserer Methode, und die Formelverwickelungen, in die man hineingeräth, sobald man diese Methode aufgiebt. § 120. Indem ich die Darstellung der geometrischen Abschat- tung und Projektion, wie auch der verschiedenen Verwandtschafts- systeme einem späteren Kapitel *), in welchem diese Begriffe in ei- nem noch grösseren Umfange ans Licht treten werden, vorbehalte, so schreite ich nun zu den Anwendungen auf die Statik. Der Be- griff des Momentes tritt zuerst hier in seiner ganzen Einfachheit auf, wie auch der Begriff der Kraft erst hier seine Darstellung fin- det, indem wir die Kraft als Liniengrösse, also als Elementargrösse zweiter Stufe auffassen. Unter dem Moment einer Kraft αβ in Be- zug auf einen Punkt ρ verstanden wir oben das Produkt [ρα] . [αβ] oder (α — ρ) . (β — α); multipliciren wir diesen Werth noch mit dem Elemente ρ, so er- scheint das Moment als Ausweichung der so entstehenden Elemen- targrösse ρ . (α — ρ) (β — α); diese ist aber nach dem bekannten Gesetz der äusseren Multiplikation gleich ρ . α . β, somit können wir das Moment in Bezug auf einen Punkt definiren als Ausweichung eines Produkts, dessen erster Faktor der Be- *) Kap. IV dieses Abschnittes.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 172. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/208>, abgerufen am 27.11.2024.