sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.
Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde, als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy- steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur Ein Element des andern entspricht.
Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen- den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien, und durch sie werde das System von a aus erzeugt, und zwar so, dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ... an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund- änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele- ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn s ein Ele- ment des ersten ist und [as] als Vielfachensumme von a, b, c ... dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei- ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun- gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön- nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde seiner Ausdehnung nach gleich
Multiplikation der Elementargrössen. § 111
sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.
Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde, als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy- steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur Ein Element des andern entspricht.
Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen- den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien, und durch sie werde das System von α aus erzeugt, und zwar so, dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ... an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund- änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele- ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn σ ein Ele- ment des ersten ist und [ασ] als Vielfachensumme von a, b, c ... dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei- ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun- gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön- nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde seiner Ausdehnung nach gleich
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0194"n="158"/><fwplace="top"type="header">Multiplikation der Elementargrössen. § 111</fw><lb/>
sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der<lb/>
Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.</p><lb/><p>Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde,<lb/>
als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit<lb/>
zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten<lb/>
Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy-<lb/>
steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass<lb/>
wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur<lb/>
Ein Element des andern entspricht.</p><lb/><p>Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien<lb/>
entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen-<lb/>
den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien,<lb/>
und durch sie werde das System von α aus erzeugt, und zwar so,<lb/>
dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ...<lb/>
an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund-<lb/>
änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem<lb/>
Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele-<lb/>
ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in<lb/>
anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn σ ein Ele-<lb/>
ment des ersten ist und [ασ] als Vielfachensumme von a, b, c ...<lb/>
dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des<lb/>
andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung<lb/>
der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei-<lb/>
ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in<lb/>
Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle<lb/>
jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon<lb/>
aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun-<lb/>
gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch<lb/>
gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des<lb/>
Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun<lb/>
insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön-<lb/>
nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine<lb/>
Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche<lb/>
die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen<lb/>
wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn<lb/>
die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde<lb/>
seiner Ausdehnung nach gleich<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[158/0194]
Multiplikation der Elementargrössen. § 111
sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der
Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.
Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde,
als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit
zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten
Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy-
steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass
wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur
Ein Element des andern entspricht.
Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien
entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen-
den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien,
und durch sie werde das System von α aus erzeugt, und zwar so,
dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ...
an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund-
änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem
Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele-
ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in
anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn σ ein Ele-
ment des ersten ist und [ασ] als Vielfachensumme von a, b, c ...
dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des
andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung
der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei-
ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in
Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle
jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon
aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun-
gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch
gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des
Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun
insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön-
nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine
Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche
die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen
wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn
die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde
seiner Ausdehnung nach gleich
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 158. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/194>, abgerufen am 16.07.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.