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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 111
sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der
Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.

Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde,
als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit
zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten
Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy-
steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass
wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur
Ein Element des andern entspricht.

Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien
entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen-
den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien,
und durch sie werde das System von a aus erzeugt, und zwar so,
dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ...
an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund-
änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem
Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele-
ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in
anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn s ein Ele-
ment des ersten ist und [as] als Vielfachensumme von a, b, c ...
dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des
andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung
der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei-
ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in
Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle
jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon
aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun-
gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch
gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des
Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun
insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön-
nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine
Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche
die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen
wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn
die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde
seiner Ausdehnung nach gleich

Multiplikation der Elementargrössen. § 111
sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der
Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen.

Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde,
als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit
zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten
Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy-
steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass
wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur
Ein Element des andern entspricht.

Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien
entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen-
den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien,
und durch sie werde das System von α aus erzeugt, und zwar so,
dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ...
an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund-
änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem
Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele-
ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in
anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn σ ein Ele-
ment des ersten ist und [ασ] als Vielfachensumme von a, b, c ...
dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des
andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung
der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei-
ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in
Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle
jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon
aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun-
gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch
gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des
Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun
insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön-
nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine
Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche
die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen
wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn
die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde
seiner Ausdehnung nach gleich

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[158/0194] Multiplikation der Elementargrössen. § 111 sämmtlicher Eckgebilde, welche bei allen möglichen Folgen der Faktoren a, b, c .... eintreten, ansehen. Nun können wir endlich zeigen, dass alle diese Eckgebilde, als Theile ihres Systems, einander gleich sind. Die Gleichheit zweier Theile eines Elementarsystems besteht im allgemeinsten Sinne darin, dass beide von dem in einfachem Sinne erzeugten Sy- steme von Elementen gleiche Gebiete umfassen, nämlich so, dass wechselseitig jedem Elemente des einen Gebietes ein, aber auch nur Ein Element des andern entspricht. Um dies bestimmter zu fassen, nehmen wir an, a, b, c... seien entsprechende Aenderungen, d. h. solche, die aus den entsprechen- den Grundänderungen auf dieselbe Weise hervorgegangen seien, und durch sie werde das System von α aus erzeugt, und zwar so, dass je zwei Elemente, welche in einer der Richtungen a, b, c ... an einander gränzen, durch die dieser Richtung zugehörige Grund- änderung aus einander erzeugt seien. Dann ist klar, wie jedem Elemente des Eckgebildes (a, b, c,) ein, aber auch nur Ein Ele- ment eines Eckgebildes, in welcher die Strecken a, b, c ... in anderer Ordnung vorkommen, entspricht. Denn wenn σ ein Ele- ment des ersten ist und [ασ] als Vielfachensumme von a, b, c ... dargestellt ist, so hat man sogleich das entsprechende Element des andern, wenn man in jener Vielfachensumme, ohne die Ordnung der Koefficienten zu ändern, a, b, c ... auf die Ordnung des zwei- ten Eckgebildes bringt. Folglich sind in der That, wenigstens in Bezug auf die angenommene Erzeugungsweise des Systems, alle jene Eckgebilde als Elementargrössen einander gleich. Aber schon aus der Art, wie wir in § 20 die Systeme von den Grundänderun- gen unabhängig gemacht haben, geht hervor, dass dasselbe auch gelten wird in Bezug auf jede andere einfache Erzeugungsweise des Systems; also sind jene Eckgebilde an sich gleich. Da sie nun insgesammt dem Produkte gleich waren, so werden wir sagen kön- nen, jedes derselben sei gleich dem Produkte dividirt durch eine Zahl, welche die Anzahl der verschiedenen Folgen ausdrückt, welche die n Faktoren a, b, c .... annehmen können, diese Zahl nennen wir die Gefolgszahl aus n Elementen, und bezeichnen sie, wenn die Anzahl der Faktoren n ist, mit n!, setzen also das Eckgebilde seiner Ausdehnung nach gleich

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 158. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/194>, abgerufen am 04.05.2024.