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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse.
ist. Setzen wir hier statt [ag] seinen Werth [ab] + [bg], statt
[ad] seinen Werth [ab] + [bg] + [gd], u. s. w., so erhält man
für ein Element s des Eckgebildes die Gleichung
[as] =
= (b + c + d + ...) [ab] + (c + d + ...) [bg] + (d + ...) [gd] + ...
= p [ab] + q [bg] + r [gd] + ...
mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der
folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist,
also mit der Bedingung
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Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel-
che jenes dem Produkte a . b . g . d ... entsprechende Ausdehnungs-
gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge-
fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor-
läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [ab] mit a, [bg]
mit b, [gd] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter
die Gesammtheit der Elemente s, welche der Gleichung
[as] = pa + qb + rc + ...
mit der Bedingung
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genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren
Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen
(l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere
Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel-
ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat,
und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög-
lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn
man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte
a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In
der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die
Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck-
gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese
Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente
sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da-
her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht
in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe

§ 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse.
ist. Setzen wir hier statt [αγ] seinen Werth [αβ] + [βγ], statt
[αδ] seinen Werth [αβ] + [βγ] + [γδ], u. s. w., so erhält man
für ein Element σ des Eckgebildes die Gleichung
[ασ] =
= (b + c + d + ...) [αβ] + (c + d + ...) [βγ] + (d + ...) [γδ] + ...
= p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ...
mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der
folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist,
also mit der Bedingung
1>p> q>r>....>0.
Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel-
che jenes dem Produkte α . β . γ . δ ... entsprechende Ausdehnungs-
gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge-
fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor-
läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [αβ] mit a, [βγ]
mit b, [γδ] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter
die Gesammtheit der Elemente σ, welche der Gleichung
[ασ] = pa + qb + rc + ...
mit der Bedingung
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genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren
Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen
(l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere
Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel-
ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat,
und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög-
lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn
man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte
a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In
der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die
Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck-
gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese
Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente
sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da-
her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht
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[157/0193] § 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse. ist. Setzen wir hier statt [αγ] seinen Werth [αβ] + [βγ], statt [αδ] seinen Werth [αβ] + [βγ] + [γδ], u. s. w., so erhält man für ein Element σ des Eckgebildes die Gleichung [ασ] = = (b + c + d + ...) [αβ] + (c + d + ...) [βγ] + (d + ...) [γδ] + ... = p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ... mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist, also mit der Bedingung 1>p> q>r>....>0. Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel- che jenes dem Produkte α . β . γ . δ ... entsprechende Ausdehnungs- gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge- fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor- läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [αβ] mit a, [βγ] mit b, [γδ] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter die Gesammtheit der Elemente σ, welche der Gleichung [ασ] = pa + qb + rc + ... mit der Bedingung 1>p>q>r>.....> 0 genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen (l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel- ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat, und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög- lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck- gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da- her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 157. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/193>, abgerufen am 22.11.2024.