Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse.
ist. Setzen wir hier statt [ag] seinen Werth [ab] + [bg], statt
[ad] seinen Werth [ab] + [bg] + [gd], u. s. w., so erhält man
für ein Element s des Eckgebildes die Gleichung
[as] =
= (b + c + d + ...) [ab] + (c + d + ...) [bg] + (d + ...) [gd] + ...
= p [ab] + q [bg] + r [gd] + ...
mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der
folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist,
also mit der Bedingung
1>p> q>r>....>0.
Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel-
che jenes dem Produkte a . b . g . d ... entsprechende Ausdehnungs-
gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge-
fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor-
läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [ab] mit a, [bg]
mit b, [gd] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter
die Gesammtheit der Elemente s, welche der Gleichung
[as] = pa + qb + rc + ...
mit der Bedingung
1>p>q>r>.....> 0
genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren
Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen
(l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere
Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel-
ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat,
und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög-
lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn
man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte
a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In
der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die
Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck-
gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese
Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente
sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da-
her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht
in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe

§ 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse.
ist. Setzen wir hier statt [αγ] seinen Werth [αβ] + [βγ], statt
[αδ] seinen Werth [αβ] + [βγ] + [γδ], u. s. w., so erhält man
für ein Element σ des Eckgebildes die Gleichung
[ασ] =
= (b + c + d + ...) [αβ] + (c + d + ...) [βγ] + (d + ...) [γδ] + ...
= p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ...
mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der
folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist,
also mit der Bedingung
1>p> q>r>....>0.
Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel-
che jenes dem Produkte α . β . γ . δ ... entsprechende Ausdehnungs-
gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge-
fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor-
läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [αβ] mit a, [βγ]
mit b, [γδ] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter
die Gesammtheit der Elemente σ, welche der Gleichung
[ασ] = pa + qb + rc + ...
mit der Bedingung
1>p>q>r>.....> 0
genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren
Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen
(l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere
Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel-
ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat,
und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög-
lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn
man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte
a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In
der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die
Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck-
gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese
Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente
sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da-
her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht
in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0193" n="157"/><fw place="top" type="header">§ 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse.</fw><lb/>
ist. Setzen wir hier statt [&#x03B1;&#x03B3;] seinen Werth [&#x03B1;&#x03B2;] + [&#x03B2;&#x03B3;], statt<lb/>
[&#x03B1;&#x03B4;] seinen Werth [&#x03B1;&#x03B2;] + [&#x03B2;&#x03B3;] + [&#x03B3;&#x03B4;], u. s. w., so erhält man<lb/>
für ein Element &#x03C3; des Eckgebildes die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">[&#x03B1;&#x03C3;] =<lb/>
= (<hi rendition="#fr">b + c + d</hi> + ...) [&#x03B1;&#x03B2;] + (<hi rendition="#fr">c + d</hi> + ...) [&#x03B2;&#x03B3;] + (<hi rendition="#fr">d</hi> + ...) [&#x03B3;&#x03B4;] + ...<lb/>
= p [&#x03B1;&#x03B2;] + q [&#x03B2;&#x03B3;] + r [&#x03B3;&#x03B4;] + ...</hi><lb/>
mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der<lb/>
folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist,<lb/>
also mit der Bedingung<lb/><hi rendition="#c">1&gt;p&gt; q&gt;r&gt;....&gt;0.</hi><lb/>
Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel-<lb/>
che jenes dem Produkte &#x03B1; . &#x03B2; . &#x03B3; . &#x03B4; ... entsprechende Ausdehnungs-<lb/>
gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge-<lb/>
fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor-<lb/>
läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [&#x03B1;&#x03B2;] mit a, [&#x03B2;&#x03B3;]<lb/>
mit b, [&#x03B3;&#x03B4;] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter<lb/>
die Gesammtheit der Elemente &#x03C3;, welche der Gleichung<lb/><hi rendition="#c">[&#x03B1;&#x03C3;] = pa + qb + rc + ...</hi><lb/>
mit der Bedingung<lb/><hi rendition="#c">1&gt;p&gt;q&gt;r&gt;.....&gt; 0</hi><lb/>
genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren<lb/>
Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen<lb/>
(l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere<lb/>
Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel-<lb/>
ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat,<lb/>
und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög-<lb/>
lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn<lb/>
man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte<lb/>
a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In<lb/>
der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die<lb/>
Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck-<lb/>
gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese<lb/>
Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente<lb/>
sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da-<lb/>
her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht<lb/>
in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[157/0193] § 111 Vergleichung mit der Ausdehnungsgrösse. ist. Setzen wir hier statt [αγ] seinen Werth [αβ] + [βγ], statt [αδ] seinen Werth [αβ] + [βγ] + [γδ], u. s. w., so erhält man für ein Element σ des Eckgebildes die Gleichung [ασ] = = (b + c + d + ...) [αβ] + (c + d + ...) [βγ] + (d + ...) [γδ] + ... = p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ... mit der Bedingung, dass jeder frühere Koefficient grösser als der folgende, der erste kleiner als eins, der letzte grösser als null ist, also mit der Bedingung 1>p> q>r>....>0. Es umfasst also das Eckgebilde nur einen Theil der Elemente, wel- che jenes dem Produkte α . β . γ . δ ... entsprechende Ausdehnungs- gebilde enthält, nämlich diejenigen, in denen die zuletzt hinzuge- fügte Bedingung erfüllt ist. Nun wollen wir jenes Eckgebilde vor- läufig mit [a, b, c ....] bezeichnen, indem wir [αβ] mit a, [βγ] mit b, [γδ] mit c bezeichnen u. s. w., und verstehen also darunter die Gesammtheit der Elemente σ, welche der Gleichung [ασ] = pa + qb + rc + ... mit der Bedingung 1>p>q>r>.....> 0 genügen. Als Gränzelemente erscheinen diejenigen, bei deren Darstellung in jener Form theilweise Gleichheit jener Grössen (l, p, q, r, .... 0) eintritt. Nun leuchtet ein, wie jede andere Folge von a, b, c, ... auch ein anderes Eckgebilde hervorruft, wel- ches mit dem ersteren kein inneres Element gemeinschaftlich hat, und wie die Gesammtheit der Elemente, welche die zu allen mög- lichen Folgen von a, b, c, ... gehörigen Eckgebilde enthalten, wenn man die Gränzelemente immer nur einmal setzt, das dem Produkte a . b . c ... entsprechende Ausdehnungsgebilde selbst darstellt. In der That jedes Element dieses Ausdehnungsgebildes wird, wenn die Koefficienten p, q, r, ... verschieden sind, nur in Einem der Eck- gebilde, aber auch gewiss in einem, vorkommen; und wenn diese Koefficienten theilweise gleich sind, so werden es Gränzelemente sein, die also nur einmal gesetzt werden sollten. Wir können da- her, da auch die Eckgebilde kein Element enthalten, welches nicht in jenem Ausdehnungsgebilde enthalten wäre, das letztere als Summe

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/193
Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 157. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/193>, abgerufen am 04.05.2024.