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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 96
grössen sind, mit welchen die zugehörigen Elemente behaftet sind.
Die Summe dieser Zahlengrössen nennen wir das Gewicht*) des
Elementarvereins, so wie die Zahlengrössen, mit welchen die ein-
zelnen Elemente behaftet sind, die ihnen zugehörigen Gewichte.
Besteht also der Elementarverein aus den Elementen a, b, ....
und den zugehörigen Gewichten a, b, ...., so ist die Abweichung
jenes Elementarvereins von einem Elemente r gleich
a [ra] + b [rb] + ....
Somit haben wir denn die Sätze:
"Wenn zwei Elementarvereine von demselben Elemente um
Gleiches**) abweichen, und ihr Gewicht gleich ist, oder wenn
sie von denselben zwei Elementen um Gleiches abweichen; so
weichen sie auch von jedem andern Elemente um Gleiches
ab, und im letztern Falle ist ihr Gewicht gleich"
und
"Ein Elementarverein, dessen Gewicht null ist, weicht von je
zwei Elementen um Gleiches ab, und ein Elementarverein,
welcher von zwei Elementen um Gleiches abweicht, hat null
zum Gewicht, und weicht von allen Elementen um Gleiches
ab***)."

§ 96. Iedes Gebilde wird dadurch als Grösse fixirt, dass der
Bereich seiner Gleichheit und Verschiedenheit bestimmt wird. Wir
bezeichnen daher zwei Elementarvereine als gleiche Grössen und
zwar als gleiche Elementargrössen, wenn ihre Abweichungen von
denselben Elementen jedesmal gleichen Werth haben. Ein Ele-
mentarverein wird also zur Elementargrösse, wenn man von der
besonderen Art seiner Zusammensetzung absieht, und nur die Ab-
weichungswerthe festhält, welche er mit anderen Elementen bildet,
so dass also eine Elementargrösse auf verschiedene Weise als Ele-
mentarverein dasein kann, und jeder Elementarverein als eine be-

*) Der Name "Gewicht" ist auch sonst in der Mathematik (in der Wahr-
scheinlichkeitsrechnung) im abstrakten Sinne gebräuchlich, und bedarf wohl hier
keiner Rechtfertigung.
**) D. h. die Abweichungen sollen gleich sein.
***) Dabei versteht sich von selbst, dass auch jedes einzelne Element sowohl
für sich, als wenn es mit einer Zahlengrösse behaftet ist, als Elementarverein auf-
gefasst werden kann, indem die Gewichte der übrigen Elemente null sind.

Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 96
grössen sind, mit welchen die zugehörigen Elemente behaftet sind.
Die Summe dieser Zahlengrössen nennen wir das Gewicht*) des
Elementarvereins, so wie die Zahlengrössen, mit welchen die ein-
zelnen Elemente behaftet sind, die ihnen zugehörigen Gewichte.
Besteht also der Elementarverein aus den Elementen α, β, ....
und den zugehörigen Gewichten a, b, ...., so ist die Abweichung
jenes Elementarvereins von einem Elemente ρ gleich
a [ρα] + b [ρβ] + ....
Somit haben wir denn die Sätze:
„Wenn zwei Elementarvereine von demselben Elemente um
Gleiches**) abweichen, und ihr Gewicht gleich ist, oder wenn
sie von denselben zwei Elementen um Gleiches abweichen; so
weichen sie auch von jedem andern Elemente um Gleiches
ab, und im letztern Falle ist ihr Gewicht gleich“
und
„Ein Elementarverein, dessen Gewicht null ist, weicht von je
zwei Elementen um Gleiches ab, und ein Elementarverein,
welcher von zwei Elementen um Gleiches abweicht, hat null
zum Gewicht, und weicht von allen Elementen um Gleiches
ab***).“

§ 96. Iedes Gebilde wird dadurch als Grösse fixirt, dass der
Bereich seiner Gleichheit und Verschiedenheit bestimmt wird. Wir
bezeichnen daher zwei Elementarvereine als gleiche Grössen und
zwar als gleiche Elementargrössen, wenn ihre Abweichungen von
denselben Elementen jedesmal gleichen Werth haben. Ein Ele-
mentarverein wird also zur Elementargrösse, wenn man von der
besonderen Art seiner Zusammensetzung absieht, und nur die Ab-
weichungswerthe festhält, welche er mit anderen Elementen bildet,
so dass also eine Elementargrösse auf verschiedene Weise als Ele-
mentarverein dasein kann, und jeder Elementarverein als eine be-

*) Der Name „Gewicht“ ist auch sonst in der Mathematik (in der Wahr-
scheinlichkeitsrechnung) im abstrakten Sinne gebräuchlich, und bedarf wohl hier
keiner Rechtfertigung.
**) D. h. die Abweichungen sollen gleich sein.
***) Dabei versteht sich von selbst, dass auch jedes einzelne Element sowohl
für sich, als wenn es mit einer Zahlengrösse behaftet ist, als Elementarverein auf-
gefasst werden kann, indem die Gewichte der übrigen Elemente null sind.
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[134/0170] Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 96 grössen sind, mit welchen die zugehörigen Elemente behaftet sind. Die Summe dieser Zahlengrössen nennen wir das Gewicht *) des Elementarvereins, so wie die Zahlengrössen, mit welchen die ein- zelnen Elemente behaftet sind, die ihnen zugehörigen Gewichte. Besteht also der Elementarverein aus den Elementen α, β, .... und den zugehörigen Gewichten a, b, ...., so ist die Abweichung jenes Elementarvereins von einem Elemente ρ gleich a [ρα] + b [ρβ] + .... Somit haben wir denn die Sätze: „Wenn zwei Elementarvereine von demselben Elemente um Gleiches **) abweichen, und ihr Gewicht gleich ist, oder wenn sie von denselben zwei Elementen um Gleiches abweichen; so weichen sie auch von jedem andern Elemente um Gleiches ab, und im letztern Falle ist ihr Gewicht gleich“ und „Ein Elementarverein, dessen Gewicht null ist, weicht von je zwei Elementen um Gleiches ab, und ein Elementarverein, welcher von zwei Elementen um Gleiches abweicht, hat null zum Gewicht, und weicht von allen Elementen um Gleiches ab ***).“ § 96. Iedes Gebilde wird dadurch als Grösse fixirt, dass der Bereich seiner Gleichheit und Verschiedenheit bestimmt wird. Wir bezeichnen daher zwei Elementarvereine als gleiche Grössen und zwar als gleiche Elementargrössen, wenn ihre Abweichungen von denselben Elementen jedesmal gleichen Werth haben. Ein Ele- mentarverein wird also zur Elementargrösse, wenn man von der besonderen Art seiner Zusammensetzung absieht, und nur die Ab- weichungswerthe festhält, welche er mit anderen Elementen bildet, so dass also eine Elementargrösse auf verschiedene Weise als Ele- mentarverein dasein kann, und jeder Elementarverein als eine be- *) Der Name „Gewicht“ ist auch sonst in der Mathematik (in der Wahr- scheinlichkeitsrechnung) im abstrakten Sinne gebräuchlich, und bedarf wohl hier keiner Rechtfertigung. **) D. h. die Abweichungen sollen gleich sein. ***) Dabei versteht sich von selbst, dass auch jedes einzelne Element sowohl für sich, als wenn es mit einer Zahlengrösse behaftet ist, als Elementarverein auf- gefasst werden kann, indem die Gewichte der übrigen Elemente null sind.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 134. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/170>, abgerufen am 03.05.2024.