§ 95 Summe der nach festen El. gezogenen Strecken.
Ist ins Besondere die Summe der Koefficienten in dem Aus- drucke i1 [ra1] + .... in [ran] null, so ergiebt sich, indem man auf die oben angegebene Weise, nämlich statt [ra] überall [rs] + [sa], substituirt, jener Ausdruck gleich i1 [sa1] + ... in [san], weil nämlich das Glied (i1 + ... in) [rs] wegen des ersten Faktors null wird. Also: "Wenn man von einem veränderlichen Elemente r Strecken nach beliebig vielen festen Elementen zieht, so ist jede Viel- fachensumme dieser Strecken, deren Koefficientensumme null ist, eine konstante Grösse."
Auch geht aus der Art, wie sich die Gleichungen dieses Para- graphen aus einander ableiten lassen, unmittelbar hervor, dass, wenn zwei beliebige Vielfachensummen jener Strecken in Bezug auf dieselben zwei Anfangselemente r und s einander gleich sind, auch ihre Koefficientensummen gleich sein, und daher ihre eigene Gleichheit bei jeder Aenderung von r fortbestehen müsse, und ebenso dass, wenn eine solche Vielfachensumme in Bezug auf zwei Anfangs-Elemente r und s gleichen Werth behält, ihre Koefficien- tensumme null ist, und sie selbst daher bei jeder Aenderung von r denselben Werth behält.
§ 95. Um die Resultate des vorigen § einfacher einkleiden zu können, führen wir einige Benennungen ein, die wir auch für die Geometrie festhalten. Nämlich wir verstehen unter der Abwei- chung eines Elementes a von einem Elemente r die Strecke [ra], unter der Gesammt-Abweichung einer Elementenreihe von einem Ele- mente r die Summe aus den Abweichungen der einzelnen Elemente jener Reihe von dem Elemente r. Fallen unter jenen Elementen mehrere (m) in eins (a) zusammen, so wird auch die Abweichung dieses Elementes [ra], ebenso oft (m-mal) in jener Summe vor- kommen. Hierdurch gelangen wir zu einer Erweiterung des Be- griffs; nämlich nennen wir einen Verein von Elementen, deren je- des mit einer bestimmten Zahlengrösse behaftet ist, einen Elemen- tarverein, so werden wir unter der Gesammtabweichung eines Ele- mentarvereins von einem Elemente r eine Vielfachensumme aus den Abweichungen der jenem Vereine angehörigen Elemente von dem Element r verstehen müssen, deren Koefficienten die Zahlen-
§ 95 Summe der nach festen El. gezogenen Strecken.
Ist ins Besondere die Summe der Koefficienten in dem Aus- drucke i1 [ρα1] + .... in [ραn] null, so ergiebt sich, indem man auf die oben angegebene Weise, nämlich statt [ρα] überall [ρσ] + [σα], substituirt, jener Ausdruck gleich i1 [σα1] + ... in [σαn], weil nämlich das Glied (i1 + ... in) [ρσ] wegen des ersten Faktors null wird. Also: „Wenn man von einem veränderlichen Elemente ρ Strecken nach beliebig vielen festen Elementen zieht, so ist jede Viel- fachensumme dieser Strecken, deren Koefficientensumme null ist, eine konstante Grösse.“
Auch geht aus der Art, wie sich die Gleichungen dieses Para- graphen aus einander ableiten lassen, unmittelbar hervor, dass, wenn zwei beliebige Vielfachensummen jener Strecken in Bezug auf dieselben zwei Anfangselemente ρ und σ einander gleich sind, auch ihre Koefficientensummen gleich sein, und daher ihre eigene Gleichheit bei jeder Aenderung von ρ fortbestehen müsse, und ebenso dass, wenn eine solche Vielfachensumme in Bezug auf zwei Anfangs-Elemente ρ und σ gleichen Werth behält, ihre Koefficien- tensumme null ist, und sie selbst daher bei jeder Aenderung von ρ denselben Werth behält.
§ 95. Um die Resultate des vorigen § einfacher einkleiden zu können, führen wir einige Benennungen ein, die wir auch für die Geometrie festhalten. Nämlich wir verstehen unter der Abwei- chung eines Elementes α von einem Elemente ρ die Strecke [ρα], unter der Gesammt-Abweichung einer Elementenreihe von einem Ele- mente ρ die Summe aus den Abweichungen der einzelnen Elemente jener Reihe von dem Elemente ρ. Fallen unter jenen Elementen mehrere (m) in eins (α) zusammen, so wird auch die Abweichung dieses Elementes [ρα], ebenso oft (m-mal) in jener Summe vor- kommen. Hierdurch gelangen wir zu einer Erweiterung des Be- griffs; nämlich nennen wir einen Verein von Elementen, deren je- des mit einer bestimmten Zahlengrösse behaftet ist, einen Elemen- tarverein, so werden wir unter der Gesammtabweichung eines Ele- mentarvereins von einem Elemente ρ eine Vielfachensumme aus den Abweichungen der jenem Vereine angehörigen Elemente von dem Element ρ verstehen müssen, deren Koefficienten die Zahlen-
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§ 95 Summe der nach festen El. gezogenen Strecken.
Ist ins Besondere die Summe der Koefficienten in dem Aus-
drucke i1 [ρα1] + .... in [ραn] null, so ergiebt sich, indem man
auf die oben angegebene Weise, nämlich statt [ρα] überall [ρσ] +
[σα], substituirt, jener Ausdruck gleich
i1 [σα1] + ... in [σαn],
weil nämlich das Glied (i1 + ... in) [ρσ] wegen des ersten Faktors
null wird. Also:
„Wenn man von einem veränderlichen Elemente ρ Strecken
nach beliebig vielen festen Elementen zieht, so ist jede Viel-
fachensumme dieser Strecken, deren Koefficientensumme null
ist, eine konstante Grösse.“
Auch geht aus der Art, wie sich die Gleichungen dieses Para-
graphen aus einander ableiten lassen, unmittelbar hervor, dass,
wenn zwei beliebige Vielfachensummen jener Strecken in Bezug
auf dieselben zwei Anfangselemente ρ und σ einander gleich sind,
auch ihre Koefficientensummen gleich sein, und daher ihre eigene
Gleichheit bei jeder Aenderung von ρ fortbestehen müsse, und
ebenso dass, wenn eine solche Vielfachensumme in Bezug auf zwei
Anfangs-Elemente ρ und σ gleichen Werth behält, ihre Koefficien-
tensumme null ist, und sie selbst daher bei jeder Aenderung von
ρ denselben Werth behält.
§ 95. Um die Resultate des vorigen § einfacher einkleiden
zu können, führen wir einige Benennungen ein, die wir auch für
die Geometrie festhalten. Nämlich wir verstehen unter der Abwei-
chung eines Elementes α von einem Elemente ρ die Strecke [ρα], unter
der Gesammt-Abweichung einer Elementenreihe von einem Ele-
mente ρ die Summe aus den Abweichungen der einzelnen Elemente
jener Reihe von dem Elemente ρ. Fallen unter jenen Elementen
mehrere (m) in eins (α) zusammen, so wird auch die Abweichung
dieses Elementes [ρα], ebenso oft (m-mal) in jener Summe vor-
kommen. Hierdurch gelangen wir zu einer Erweiterung des Be-
griffs; nämlich nennen wir einen Verein von Elementen, deren je-
des mit einer bestimmten Zahlengrösse behaftet ist, einen Elemen-
tarverein, so werden wir unter der Gesammtabweichung eines Ele-
mentarvereins von einem Elemente ρ eine Vielfachensumme aus
den Abweichungen der jenem Vereine angehörigen Elemente von
dem Element ρ verstehen müssen, deren Koefficienten die Zahlen-
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 133. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/169>, abgerufen am 16.02.2025.
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