Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.Vorrede. Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass[Formel 1] sei *). Eben so wenn Sin a die Grösse vorstellt, welche die Strecke, mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win- kels a um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute Länge auf gleiche Weise ändert wie sin a, so ist [Formel 2] und es ergiebt sich daraus die Gleichung [Formel 3] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be- kannten imaginären Ausdrücken verrathen. Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als *) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe
um den Winkel a in die Lage AC, um den Winkel -a aber in die Lage AD ge- schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum- me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des Winkels a. Vorrede. Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass[Formel 1] sei *). Eben so wenn Sin α die Grösse vorstellt, welche die Strecke, mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win- kels α um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute Länge auf gleiche Weise ändert wie sin ᾱ, so ist [Formel 2] und es ergiebt sich daraus die Gleichung [Formel 3] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be- kannten imaginären Ausdrücken verrathen. Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als *) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe
um den Winkel α in die Lage AC, um den Winkel -α aber in die Lage AD ge- schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum- me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des Winkels α. <TEI> <text> <front> <div type="preface"> <p><pb facs="#f0016" n="XII"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#g">Vorrede.</hi></fw><lb/> Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass<lb/><formula/> sei <note place="foot" n="*)">In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe<lb/> um den Winkel α in die Lage AC, um den Winkel -α aber in die Lage AD ge-<lb/> schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum-<lb/> me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des<lb/> Winkels α.</note>. Eben so wenn Sin α die Grösse vorstellt, welche die Strecke,<lb/> mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win-<lb/> kels α um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute<lb/> Länge auf gleiche Weise ändert wie sin ᾱ, so ist<lb/><formula/> und es ergiebt sich daraus die Gleichung<lb/><formula/> alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be-<lb/> kannten imaginären Ausdrücken verrathen.</p><lb/> <p>Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als<lb/> ich nun auch diese Begriffe zu verallgemeinern trachtete, so erwei-<lb/> terte sich zuerst der Begriff des inneren Produktes auf entspre-<lb/> chende Weise, wie ich dies für das äussere Produkt in Bezug auf<lb/> das Durchschneiden der Linien und Ebenen oben angedeutet habe;<lb/> sodann kam ich zunächst auf den Begriff des Quotienten verschie-<lb/> den gerichteter Strecken, und verstand unter <formula notation="TeX">\frac {a}{b}</formula> wo a und b ver-<lb/> schieden gerichtete Strecken von gleicher Länge vorstellen, die<lb/> Grösse, welche jede in derselben Ebene liegende Strecke um den<lb/> Winkel ba (von b nach a gerechnet) ändert, so dass in der That,<lb/> wie es sein muss, <formula notation="TeX">\frac {a}{b}</formula> b = a ist; und hieraus ergab sich dann der<lb/> Begriff für den Fall, dass a und b von ungleicher Länge sind, un-<lb/> mittelbar. Jener einfache Begriff wurde nun aber die Quelle für<lb/> eine Reihe der interessantesten Beziehungen. Zuerst ergab sich<lb/></p> </div> </front> </text> </TEI> [XII/0016]
Vorrede.
Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass
[FORMEL] sei *). Eben so wenn Sin α die Grösse vorstellt, welche die Strecke,
mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win-
kels α um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute
Länge auf gleiche Weise ändert wie sin ᾱ, so ist
[FORMEL] und es ergiebt sich daraus die Gleichung
[FORMEL] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be-
kannten imaginären Ausdrücken verrathen.
Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als
ich nun auch diese Begriffe zu verallgemeinern trachtete, so erwei-
terte sich zuerst der Begriff des inneren Produktes auf entspre-
chende Weise, wie ich dies für das äussere Produkt in Bezug auf
das Durchschneiden der Linien und Ebenen oben angedeutet habe;
sodann kam ich zunächst auf den Begriff des Quotienten verschie-
den gerichteter Strecken, und verstand unter [FORMEL] wo a und b ver-
schieden gerichtete Strecken von gleicher Länge vorstellen, die
Grösse, welche jede in derselben Ebene liegende Strecke um den
Winkel ba (von b nach a gerechnet) ändert, so dass in der That,
wie es sein muss, [FORMEL] b = a ist; und hieraus ergab sich dann der
Begriff für den Fall, dass a und b von ungleicher Länge sind, un-
mittelbar. Jener einfache Begriff wurde nun aber die Quelle für
eine Reihe der interessantesten Beziehungen. Zuerst ergab sich
*) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe
um den Winkel α in die Lage AC, um den Winkel -α aber in die Lage AD ge-
schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum-
me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des
Winkels α.
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. XII. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/16>, abgerufen am 16.07.2024. |