Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Vorrede. null ist. Diesem Begriffe stellte sich ein anderer zur Seite, dersich gleichfalls auf Strecken mit festgehaltener Richtung bezieht. Nämlich wenn ich die eine Strecke senkrecht auf die andere pro- jicirte, so stellte sich das arithmetische Produkt dieser Projektion in die Strecke, worauf projicirt war, gleichfalls als Produkt jener Strecken dar, sofern auch hierfür die multiplikative Beziehung zur Addition galt. Aber das Produkt war von ganz anderer Art, wie jenes erstere, insofern die Faktoren desselben ohne Zeichenwechsel vertauschbar waren, und das Produkt zweier gegen einander senk- rechter Strecken als null erschien. Ich nannte jenes erstere Pro- dukt das äussere, dies letztere das innere Produkt, sofern jenes nur bei auseinander tretenden Richtungen, dieses nur bei Annäherung derselben d. h. bei theilweisem Ineinandersein einen geltenden Werth hatte. Dieser Begriff des inneren Produktes, welcher sich mir schon bei der Durcharbeitung der Mecanique analytique als nothwendig herausgestellt hatte, führte zugleich zu dem Begriffe der absoluten Länge *). -- Eben so hatte sich mir schon bei der Bearbeitung der Theorie der Ebbe und Fluth die geometrische Ex- ponentialgrösse ergeben; nämlich wenn a eine Strecke (mit festge- haltener Richtung) und a einen Winkel (mit festgehaltener Schwen- kungsebene) darstellt, so ergab sich aus rein inneren Gründen, deren Angabe mich jedoch zu weit führen würde, dass a. ea, wo e als die Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems aufgefasst werden kann, die Strecke bedeutet, welche aus a durch eine Schwenkung hervorgeht, die den Winkel a erzeugt; d. h. es bedeutet a. ea die Strecke a geschwenkt um den Winkel a. Wenn ferner Cos a, wo a einen Winkel ausdrückt im geometrischen Sinne, dieselbe Zahl vorstellt wie cos a, wo a den zu dem Winkel gehörigen, durch den Halbmesser gemessenen Bogen bedeuten soll: so folgt aus jenem *) Auch dieser Begriff, da er die Schwenkung voraussetzt, gehört dem zwei-
ten Theile an. Vorrede. null ist. Diesem Begriffe stellte sich ein anderer zur Seite, dersich gleichfalls auf Strecken mit festgehaltener Richtung bezieht. Nämlich wenn ich die eine Strecke senkrecht auf die andere pro- jicirte, so stellte sich das arithmetische Produkt dieser Projektion in die Strecke, worauf projicirt war, gleichfalls als Produkt jener Strecken dar, sofern auch hierfür die multiplikative Beziehung zur Addition galt. Aber das Produkt war von ganz anderer Art, wie jenes erstere, insofern die Faktoren desselben ohne Zeichenwechsel vertauschbar waren, und das Produkt zweier gegen einander senk- rechter Strecken als null erschien. Ich nannte jenes erstere Pro- dukt das äussere, dies letztere das innere Produkt, sofern jenes nur bei auseinander tretenden Richtungen, dieses nur bei Annäherung derselben d. h. bei theilweisem Ineinandersein einen geltenden Werth hatte. Dieser Begriff des inneren Produktes, welcher sich mir schon bei der Durcharbeitung der Mécanique analytique als nothwendig herausgestellt hatte, führte zugleich zu dem Begriffe der absoluten Länge *). — Eben so hatte sich mir schon bei der Bearbeitung der Theorie der Ebbe und Fluth die geometrische Ex- ponentialgrösse ergeben; nämlich wenn a eine Strecke (mit festge- haltener Richtung) und a einen Winkel (mit festgehaltener Schwen- kungsebene) darstellt, so ergab sich aus rein inneren Gründen, deren Angabe mich jedoch zu weit führen würde, dass a. eα, wo e als die Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems aufgefasst werden kann, die Strecke bedeutet, welche aus a durch eine Schwenkung hervorgeht, die den Winkel α erzeugt; d. h. es bedeutet a. eα die Strecke a geschwenkt um den Winkel α. Wenn ferner Cos α, wo α einen Winkel ausdrückt im geometrischen Sinne, dieselbe Zahl vorstellt wie cos ᾱ, wo ᾱ den zu dem Winkel gehörigen, durch den Halbmesser gemessenen Bogen bedeuten soll: so folgt aus jenem *) Auch dieser Begriff, da er die Schwenkung voraussetzt, gehört dem zwei-
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Vorrede.
null ist. Diesem Begriffe stellte sich ein anderer zur Seite, der
sich gleichfalls auf Strecken mit festgehaltener Richtung bezieht.
Nämlich wenn ich die eine Strecke senkrecht auf die andere pro-
jicirte, so stellte sich das arithmetische Produkt dieser Projektion
in die Strecke, worauf projicirt war, gleichfalls als Produkt jener
Strecken dar, sofern auch hierfür die multiplikative Beziehung zur
Addition galt. Aber das Produkt war von ganz anderer Art, wie
jenes erstere, insofern die Faktoren desselben ohne Zeichenwechsel
vertauschbar waren, und das Produkt zweier gegen einander senk-
rechter Strecken als null erschien. Ich nannte jenes erstere Pro-
dukt das äussere, dies letztere das innere Produkt, sofern jenes
nur bei auseinander tretenden Richtungen, dieses nur bei Annäherung
derselben d. h. bei theilweisem Ineinandersein einen geltenden
Werth hatte. Dieser Begriff des inneren Produktes, welcher sich
mir schon bei der Durcharbeitung der Mécanique analytique als
nothwendig herausgestellt hatte, führte zugleich zu dem Begriffe
der absoluten Länge *). — Eben so hatte sich mir schon bei der
Bearbeitung der Theorie der Ebbe und Fluth die geometrische Ex-
ponentialgrösse ergeben; nämlich wenn a eine Strecke (mit festge-
haltener Richtung) und a einen Winkel (mit festgehaltener Schwen-
kungsebene) darstellt, so ergab sich aus rein inneren Gründen, deren
Angabe mich jedoch zu weit führen würde, dass a. eα, wo e als die
Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems aufgefasst werden
kann, die Strecke bedeutet, welche aus a durch eine Schwenkung
hervorgeht, die den Winkel α erzeugt; d. h. es bedeutet a. eα die
Strecke a geschwenkt um den Winkel α. Wenn ferner Cos α, wo
α einen Winkel ausdrückt im geometrischen Sinne, dieselbe Zahl
vorstellt wie cos ᾱ, wo ᾱ den zu dem Winkel gehörigen, durch den
Halbmesser gemessenen Bogen bedeuten soll: so folgt aus jenem
*) Auch dieser Begriff, da er die Schwenkung voraussetzt, gehört dem zwei-
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