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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 84 Möglichkeit der Abschattung.
schattung von A; ist aber A . L gleich null, so haben wir schon
nachgewiesen, dass die Abschattung auch null, also möglich ist.
Somit hat sich ergeben, dass die Abschattung allemal dann, aber
auch nur dann, möglich ist, wenn das Produkt der abgeschatteten
Grösse in das Leitsystem dem Produkte des Grundsystems in das
Leitsystem angehört. -- Da, wenn A . L nicht null ist, die ange-
führte Bedingung mit der Bedingung identisch ist, dass A dem Sy-
steme G . L angehöre, so können wir die Resultate dieses § auch
in folgendem Satze zusammenfassen:
"Ist die abzuschattende Grösse von dem Leitsysteme abhängig,
so ist die Abschattung 0; ist sie davon unabhängig, so hat die
Abschattung allemal dann einen geltenden Werth, wenn die
abzuschattende Grösse dem aus dem Grund- und Leitsysteme
zusammengesetzten Systeme angehört; in jedem andern Falle
ist sie unmöglich."

Wenden wir den Begriff der Abschattung auch auf die Grössen
null-ter Stufe d. h. auf die Zahlengrössen an, so haben wir nur zu
beachten, dass die Allgemeinheit der Gesetze es erfordert, diesel-
ben als jedem beliebigen Systeme angehörig, aber, wenn sie nicht
null sind, als von ihnen unabhängig zu betrachten (s. Kap. 4). Dar-
aus geht dann hervor, dass die Zahlengrössen bei der Abschattung
sich nicht ändern.

§ 84. Wir gehen nun zur Abschattung eines Produktes über,
um dieselbe mit den Abschattungen seiner Faktoren zu vergleichen.
Es sei A . B das Produkt, A' und B' die Abschattungen von A und
B auf das Grundsystem G nach dem Leitsysteme L, so hat man die
Gleichungen
A' . L = A . L und B' . L = B . L.

Die Abschattung des Produktes A . B wird nun diejenige Grösse
sein, welche, dem Systeme G angehörend, mit L multiplicirt ein
Produkt giebt, welches gleich A . B . L ist. Da nun A . L gleich ist
A' . L, so kann ich in dem Produkte A . B . L statt A den Werth A'
setzen, wie sich sogleich durch zweimalige Vertauschung und Zu-
sammenfassung ergiebt.*) Somit erhalte ich

*) In der That kann ich A . B . L entweder gleich A . L . B oder gleich
-- A . L . B setzen, dann die Faktoren A . L zu einem Produkt zusammenfassen,

§ 84 Möglichkeit der Abschattung.
schattung von A; ist aber A . L gleich null, so haben wir schon
nachgewiesen, dass die Abschattung auch null, also möglich ist.
Somit hat sich ergeben, dass die Abschattung allemal dann, aber
auch nur dann, möglich ist, wenn das Produkt der abgeschatteten
Grösse in das Leitsystem dem Produkte des Grundsystems in das
Leitsystem angehört. — Da, wenn A . L nicht null ist, die ange-
führte Bedingung mit der Bedingung identisch ist, dass A dem Sy-
steme G . L angehöre, so können wir die Resultate dieses § auch
in folgendem Satze zusammenfassen:
„Ist die abzuschattende Grösse von dem Leitsysteme abhängig,
so ist die Abschattung 0; ist sie davon unabhängig, so hat die
Abschattung allemal dann einen geltenden Werth, wenn die
abzuschattende Grösse dem aus dem Grund- und Leitsysteme
zusammengesetzten Systeme angehört; in jedem andern Falle
ist sie unmöglich.“

Wenden wir den Begriff der Abschattung auch auf die Grössen
null-ter Stufe d. h. auf die Zahlengrössen an, so haben wir nur zu
beachten, dass die Allgemeinheit der Gesetze es erfordert, diesel-
ben als jedem beliebigen Systeme angehörig, aber, wenn sie nicht
null sind, als von ihnen unabhängig zu betrachten (s. Kap. 4). Dar-
aus geht dann hervor, dass die Zahlengrössen bei der Abschattung
sich nicht ändern.

§ 84. Wir gehen nun zur Abschattung eines Produktes über,
um dieselbe mit den Abschattungen seiner Faktoren zu vergleichen.
Es sei A . B das Produkt, A′ und B′ die Abschattungen von A und
B auf das Grundsystem G nach dem Leitsysteme L, so hat man die
Gleichungen
A′ . L = A . L und B′ . L = B . L.

Die Abschattung des Produktes A . B wird nun diejenige Grösse
sein, welche, dem Systeme G angehörend, mit L multiplicirt ein
Produkt giebt, welches gleich A . B . L ist. Da nun A . L gleich ist
A′ . L, so kann ich in dem Produkte A . B . L statt A den Werth A′
setzen, wie sich sogleich durch zweimalige Vertauschung und Zu-
sammenfassung ergiebt.*) Somit erhalte ich

*) In der That kann ich A . B . L entweder gleich A . L . B oder gleich
— A . L . B setzen, dann die Faktoren A . L zu einem Produkt zusammenfassen,
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[119/0155] § 84 Möglichkeit der Abschattung. schattung von A; ist aber A . L gleich null, so haben wir schon nachgewiesen, dass die Abschattung auch null, also möglich ist. Somit hat sich ergeben, dass die Abschattung allemal dann, aber auch nur dann, möglich ist, wenn das Produkt der abgeschatteten Grösse in das Leitsystem dem Produkte des Grundsystems in das Leitsystem angehört. — Da, wenn A . L nicht null ist, die ange- führte Bedingung mit der Bedingung identisch ist, dass A dem Sy- steme G . L angehöre, so können wir die Resultate dieses § auch in folgendem Satze zusammenfassen: „Ist die abzuschattende Grösse von dem Leitsysteme abhängig, so ist die Abschattung 0; ist sie davon unabhängig, so hat die Abschattung allemal dann einen geltenden Werth, wenn die abzuschattende Grösse dem aus dem Grund- und Leitsysteme zusammengesetzten Systeme angehört; in jedem andern Falle ist sie unmöglich.“ Wenden wir den Begriff der Abschattung auch auf die Grössen null-ter Stufe d. h. auf die Zahlengrössen an, so haben wir nur zu beachten, dass die Allgemeinheit der Gesetze es erfordert, diesel- ben als jedem beliebigen Systeme angehörig, aber, wenn sie nicht null sind, als von ihnen unabhängig zu betrachten (s. Kap. 4). Dar- aus geht dann hervor, dass die Zahlengrössen bei der Abschattung sich nicht ändern. § 84. Wir gehen nun zur Abschattung eines Produktes über, um dieselbe mit den Abschattungen seiner Faktoren zu vergleichen. Es sei A . B das Produkt, A′ und B′ die Abschattungen von A und B auf das Grundsystem G nach dem Leitsysteme L, so hat man die Gleichungen A′ . L = A . L und B′ . L = B . L. Die Abschattung des Produktes A . B wird nun diejenige Grösse sein, welche, dem Systeme G angehörend, mit L multiplicirt ein Produkt giebt, welches gleich A . B . L ist. Da nun A . L gleich ist A′ . L, so kann ich in dem Produkte A . B . L statt A den Werth A′ setzen, wie sich sogleich durch zweimalige Vertauschung und Zu- sammenfassung ergiebt. *) Somit erhalte ich *) In der That kann ich A . B . L entweder gleich A . L . B oder gleich — A . L . B setzen, dann die Faktoren A . L zu einem Produkt zusammenfassen,

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 119. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/155>, abgerufen am 03.05.2024.