Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 82 Begriff der Abschattung (Projektion). A' . L = A . L, B' . L = B . L, ....sei, so hat man die Gleichung A' . L + B' . L + .... = 0, und daraus nach dem vorigen § A' + B' + .... = 0, eine Gleichung, welche von derselben Stufe ist, wie die ursprüng- liche. Ein jedes Glied der letzten Gleichung ist aus dem entspre- chenden der ersten dadurch hervorgegangen, dass man in dem Sy- steme G eine Grösse gesucht hat, welche mit einer von G unab- hängigen Grösse L multiplicirt dasselbe giebt, wie das entsprechende Glied der ursprünglichen Gleichung, und es zeigt sich sogleich, dass, wenn eine solche Grösse möglich ist, auch immer nur Eine möglich sei. Nimmt man nämlich zwei solche an, etwa A' und A", welche aus A auf die angegebene Weise entstanden sein sollen, so müssen sie nach der Voraussetzung mit L multiplicirt gleiches Re- sultat geben (nämlich A L); wir erhalten also die Gleichung A' . L = A" . L und da das System G, welchem A' und A" angehören, von L unab- hängig sein soll, so kann man nach § 81 hier L weglassen und hat A' = A", d. h. beide Werthe fallen in Einen zusammen; es ist also in der That nur Eine solche Grösse möglich. Wir nennen hier A' die Projektion oder Abschattung*), A die projicirte oder abgeschattete Grösse, G das Grundsystem, das System L das Leitsystem, und sa- gen, dass A' die Projektion oder Abschattung von A auf G nach (ge- mäss) dem Leitsystem L sei. Also "unter der Projektion oder Abschattung einer Grösse (A) auf ein Grundsystem (G) nach einem Leitsysteme (L), verstehen wir diejenige Grösse, welche dem Grund- systeme angehörend, mit einem Theil des Leitsystems gleiches Pro- dukt liefert, wie die projicirte oder abgeschattete Grösse (A)." Wir können somit den im Anfange dieses § entwickelten Satz in der Form aussprechen: *) Die Namen Projektion und Abschattung sollen nicht überall dasselbe
bedeuten, ihr Unterschied wird aber erst im zweiten Abschnitte dieses Theiles heraustreten; auf die hier betrachteten Grössen angewandt, fallen beide Begriffe zusammen. § 82 Begriff der Abschattung (Projektion). A′ . L = A . L, B′ . L = B . L, ....sei, so hat man die Gleichung A′ . L + B′ . L + .... = 0, und daraus nach dem vorigen § A′ + B′ + .... = 0, eine Gleichung, welche von derselben Stufe ist, wie die ursprüng- liche. Ein jedes Glied der letzten Gleichung ist aus dem entspre- chenden der ersten dadurch hervorgegangen, dass man in dem Sy- steme G eine Grösse gesucht hat, welche mit einer von G unab- hängigen Grösse L multiplicirt dasselbe giebt, wie das entsprechende Glied der ursprünglichen Gleichung, und es zeigt sich sogleich, dass, wenn eine solche Grösse möglich ist, auch immer nur Eine möglich sei. Nimmt man nämlich zwei solche an, etwa A′ und A″, welche aus A auf die angegebene Weise entstanden sein sollen, so müssen sie nach der Voraussetzung mit L multiplicirt gleiches Re- sultat geben (nämlich A L); wir erhalten also die Gleichung A′ . L = A″ . L und da das System G, welchem A′ und A″ angehören, von L unab- hängig sein soll, so kann man nach § 81 hier L weglassen und hat A′ = A″, d. h. beide Werthe fallen in Einen zusammen; es ist also in der That nur Eine solche Grösse möglich. Wir nennen hier A′ die Projektion oder Abschattung*), A die projicirte oder abgeschattete Grösse, G das Grundsystem, das System L das Leitsystem, und sa- gen, dass A′ die Projektion oder Abschattung von A auf G nach (ge- mäss) dem Leitsystem L sei. Also „unter der Projektion oder Abschattung einer Grösse (A) auf ein Grundsystem (G) nach einem Leitsysteme (L), verstehen wir diejenige Grösse, welche dem Grund- systeme angehörend, mit einem Theil des Leitsystems gleiches Pro- dukt liefert, wie die projicirte oder abgeschattete Grösse (A).“ Wir können somit den im Anfange dieses § entwickelten Satz in der Form aussprechen: *) Die Namen Projektion und Abschattung sollen nicht überall dasselbe
bedeuten, ihr Unterschied wird aber erst im zweiten Abschnitte dieses Theiles heraustreten; auf die hier betrachteten Grössen angewandt, fallen beide Begriffe zusammen. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0153" n="117"/><fw place="top" type="header">§ 82 Begriff der Abschattung (Projektion).</fw><lb/><hi rendition="#c">A′ . L = A . L, B′ . L = B . L, ....</hi><lb/> sei, so hat man die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A′ . L + B′ . L + .... = 0,</hi><lb/> und daraus nach dem vorigen §<lb/><hi rendition="#c">A′ + B′ + .... = 0,</hi><lb/> eine Gleichung, welche von derselben Stufe ist, wie die ursprüng-<lb/> liche. Ein jedes Glied der letzten Gleichung ist aus dem entspre-<lb/> chenden der ersten dadurch hervorgegangen, dass man in dem Sy-<lb/> steme G eine Grösse gesucht hat, welche mit einer von G unab-<lb/> hängigen Grösse L multiplicirt dasselbe giebt, wie das entsprechende<lb/> Glied der ursprünglichen Gleichung, und es zeigt sich sogleich,<lb/> dass, wenn eine solche Grösse möglich ist, auch immer nur Eine<lb/> möglich sei. Nimmt man nämlich zwei solche an, etwa A′ und A″,<lb/> welche aus A auf die angegebene Weise entstanden sein sollen, so<lb/> müssen sie nach der Voraussetzung mit L multiplicirt gleiches Re-<lb/> sultat geben (nämlich A L); wir erhalten also die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A′ . L = A″ . L</hi><lb/> und da das System G, welchem A′ und A″ angehören, von L unab-<lb/> hängig sein soll, so kann man nach § 81 hier L weglassen und hat<lb/><hi rendition="#c">A′ = A″,</hi><lb/> d. h. beide Werthe fallen in Einen zusammen; es ist also in der<lb/> That nur Eine solche Grösse möglich. Wir nennen hier A′ die<lb/> Projektion oder Abschattung<note place="foot" n="*)">Die Namen Projektion und Abschattung sollen nicht überall dasselbe<lb/> bedeuten, ihr Unterschied wird aber erst im zweiten Abschnitte dieses Theiles<lb/> heraustreten; auf die hier betrachteten Grössen angewandt, fallen beide Begriffe<lb/> zusammen.</note>, A die projicirte oder abgeschattete<lb/> Grösse, G das Grundsystem, das System L das Leitsystem, und sa-<lb/> gen, dass A′ die Projektion oder Abschattung von A auf G nach (ge-<lb/> mäss) dem Leitsystem L sei. Also „unter der Projektion oder<lb/> Abschattung einer Grösse (A) auf ein Grundsystem (G) nach einem<lb/> Leitsysteme (L), verstehen wir diejenige Grösse, welche dem Grund-<lb/> systeme angehörend, mit einem Theil des Leitsystems gleiches Pro-<lb/> dukt liefert, wie die projicirte oder abgeschattete Grösse (A).“ Wir<lb/> können somit den im Anfange dieses § entwickelten Satz in der Form<lb/> aussprechen:<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [117/0153]
§ 82 Begriff der Abschattung (Projektion).
A′ . L = A . L, B′ . L = B . L, ....
sei, so hat man die Gleichung
A′ . L + B′ . L + .... = 0,
und daraus nach dem vorigen §
A′ + B′ + .... = 0,
eine Gleichung, welche von derselben Stufe ist, wie die ursprüng-
liche. Ein jedes Glied der letzten Gleichung ist aus dem entspre-
chenden der ersten dadurch hervorgegangen, dass man in dem Sy-
steme G eine Grösse gesucht hat, welche mit einer von G unab-
hängigen Grösse L multiplicirt dasselbe giebt, wie das entsprechende
Glied der ursprünglichen Gleichung, und es zeigt sich sogleich,
dass, wenn eine solche Grösse möglich ist, auch immer nur Eine
möglich sei. Nimmt man nämlich zwei solche an, etwa A′ und A″,
welche aus A auf die angegebene Weise entstanden sein sollen, so
müssen sie nach der Voraussetzung mit L multiplicirt gleiches Re-
sultat geben (nämlich A L); wir erhalten also die Gleichung
A′ . L = A″ . L
und da das System G, welchem A′ und A″ angehören, von L unab-
hängig sein soll, so kann man nach § 81 hier L weglassen und hat
A′ = A″,
d. h. beide Werthe fallen in Einen zusammen; es ist also in der
That nur Eine solche Grösse möglich. Wir nennen hier A′ die
Projektion oder Abschattung *), A die projicirte oder abgeschattete
Grösse, G das Grundsystem, das System L das Leitsystem, und sa-
gen, dass A′ die Projektion oder Abschattung von A auf G nach (ge-
mäss) dem Leitsystem L sei. Also „unter der Projektion oder
Abschattung einer Grösse (A) auf ein Grundsystem (G) nach einem
Leitsysteme (L), verstehen wir diejenige Grösse, welche dem Grund-
systeme angehörend, mit einem Theil des Leitsystems gleiches Pro-
dukt liefert, wie die projicirte oder abgeschattete Grösse (A).“ Wir
können somit den im Anfange dieses § entwickelten Satz in der Form
aussprechen:
*) Die Namen Projektion und Abschattung sollen nicht überall dasselbe
bedeuten, ihr Unterschied wird aber erst im zweiten Abschnitte dieses Theiles
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 117. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/153>, abgerufen am 04.05.2024. |
