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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Gleichungen. -- Projektion. § 82
A = 0,
in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet,
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L = 0
abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten
Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er-
steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur
A = ,
in welcher nach dem vorigen Kapitel jede von L abhängige
Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung
A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist,
dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit
andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist,
einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. "wenn die
Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf
derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller
Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen
Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern
weglassen."

§ 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden
vorigen Paragraphen gelangen wir nun zu einem Verfahren, um aus
einer Gleichung andere Gleichungen derselben Stufe abzuleiten.
In der That ist
A + B + .... = 0
die ursprüngliche Gleichung, so erhalten wir durch Multiplikation
mit L (nach § 80) die Gleichung
A . L + B . L + ... = 0.

Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden,
um den Faktor L wegzuschaffen, so müssen wir die Glieder dieser
Gleichung in solcher Form darstellen, dass die Faktoren, mit wel-
chen L multiplicirt ist, ins Gesammt einem von L unabhängigen
Systeme angehören. Es sei G ein solches System und A', B' ....
seien Ausdehnungen, welche diesem System angehören, und die Be-
schaffenheit haben, dass

Gleichungen. — Projektion. § 82
A = 0,
in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet,
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L = 0
abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten
Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er-
steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur
A = ,
in welcher nach dem vorigen Kapitel jede von L abhängige
Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung
A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist,
dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit
andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist,
einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. „wenn die
Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf
derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller
Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen
Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern
weglassen.“

§ 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden
vorigen Paragraphen gelangen wir nun zu einem Verfahren, um aus
einer Gleichung andere Gleichungen derselben Stufe abzuleiten.
In der That ist
A + B + .... = 0
die ursprüngliche Gleichung, so erhalten wir durch Multiplikation
mit L (nach § 80) die Gleichung
A . L + B . L + ... = 0.

Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden,
um den Faktor L wegzuschaffen, so müssen wir die Glieder dieser
Gleichung in solcher Form darstellen, dass die Faktoren, mit wel-
chen L multiplicirt ist, ins Gesammt einem von L unabhängigen
Systeme angehören. Es sei G ein solches System und A′, B′ ....
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[116/0152] Gleichungen. — Projektion. § 82 A = 0, in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet, durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L = 0 abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er- steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur A = [FORMEL], in welcher nach dem vorigen Kapitel [FORMEL] jede von L abhängige Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist, dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist, einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. „wenn die Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern weglassen.“ § 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden vorigen Paragraphen gelangen wir nun zu einem Verfahren, um aus einer Gleichung andere Gleichungen derselben Stufe abzuleiten. In der That ist A + B + .... = 0 die ursprüngliche Gleichung, so erhalten wir durch Multiplikation mit L (nach § 80) die Gleichung A . L + B . L + ... = 0. Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden, um den Faktor L wegzuschaffen, so müssen wir die Glieder dieser Gleichung in solcher Form darstellen, dass die Faktoren, mit wel- chen L multiplicirt ist, ins Gesammt einem von L unabhängigen Systeme angehören. Es sei G ein solches System und A′, B′ .... seien Ausdehnungen, welche diesem System angehören, und die Be- schaffenheit haben, dass

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 116. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/152>, abgerufen am 25.11.2024.