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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Division. -- Zahlengrösse. § 77 -- 78
c = BF, c1 = CG,
so werden wieder vermöge der zweiten Proportion die Punkte A, F, G
eine gerade Linie bilden; soll nun auch die dritte Proportion rich-
tig sein, so müsste DF parallel mit EG sein; es ist also zu zeigen,
dass, wenn die Ecken eines Dreiecks in geraden Linien fortrücken,
die sich in Einem Punkte schneiden, und zwei von den Seiten pa-
rallel bleiben, auch die dritte parallel bleiben müsse. Dieser Satz
ergiebt sich sogleich, wenn die beiden Dreiecke oder (was auf das-
selbe zurückläuft) die drei Linien, in welchen sich die Ecken be-
wegen, nicht in derselben Ebene liegen. In diesem Falle darf man
nur durch je zwei der von A ausgehenden Linien eine Ebene ge-
legt denken, und durch den Punkt C eine mit BDF parallele Ebene
legen, so wird diese die drei ersten Ebenen in Kanten schneiden,
welche mit den Seiten jenes Dreiecks BDF parallel sind, und wovon
zwei mit CE und CG zusammenfallen; somit wird auch die dritte
mit EG zusammenfallen, also EG mit DF parallel sein.

§ 77. Liegen jene Linien in Einer Ebene, so hat man nur
von B und C zwei ausserhalb der Ebene liegende einander parallele
Linien zu ziehen, welche durch eine von A aus gezogene Linie in
den Punkten H und I geschnitten werden. Dann ist nach dem
Satze des vorigen § erstens HD parallel IE, zweitens HI parallel IG,
also vermöge des Parallelismus dieser beiden Linienpaare wieder
nach demselben Satze DF parallel mit EG. Somit haben wir allge-
mein bewiesen, dass wenn die Ecken eines Dreiecks sich in gera-
den Linien fortbewegen, die durch einen Punkt gehen, und zwei
Seiten parallel bleiben, auch die dritte es bleibt; oder dass, wenn
zwei Streckenpaare einem und demselben Streckenpaare proportio-
nirt sind, sie auch unter einander proportionirt sein müssen, sobald
die drei Streckenpaare 3 verschiedene Richtungen darbieten.

§ 78. Der Begriff einer Proportion zwischen vier parallelen
Strecken hat in dem Vorigen noch keine Bestimmung erfahren.
In der That ist dieser Fall, obgleich arithmetisch der einfachste,
doch geometrisch der verwickeltste, sofern zu 3 parallelen Strecken
die vierte Proportionale geometrisch nur durch zu Hülfe nehmen
einer neuen Richtung erfolgt, Nach dem Princip der im vorigen
§ geführten Entwickelung haben wir ein Streckenpaar einem ihm
parallelen als proportionirt zu setzen, wenn beide einem und dem-

Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 77 — 78
c = BF, c1 = CG,
so werden wieder vermöge der zweiten Proportion die Punkte A, F, G
eine gerade Linie bilden; soll nun auch die dritte Proportion rich-
tig sein, so müsste DF parallel mit EG sein; es ist also zu zeigen,
dass, wenn die Ecken eines Dreiecks in geraden Linien fortrücken,
die sich in Einem Punkte schneiden, und zwei von den Seiten pa-
rallel bleiben, auch die dritte parallel bleiben müsse. Dieser Satz
ergiebt sich sogleich, wenn die beiden Dreiecke oder (was auf das-
selbe zurückläuft) die drei Linien, in welchen sich die Ecken be-
wegen, nicht in derselben Ebene liegen. In diesem Falle darf man
nur durch je zwei der von A ausgehenden Linien eine Ebene ge-
legt denken, und durch den Punkt C eine mit BDF parallele Ebene
legen, so wird diese die drei ersten Ebenen in Kanten schneiden,
welche mit den Seiten jenes Dreiecks BDF parallel sind, und wovon
zwei mit CE und CG zusammenfallen; somit wird auch die dritte
mit EG zusammenfallen, also EG mit DF parallel sein.

§ 77. Liegen jene Linien in Einer Ebene, so hat man nur
von B und C zwei ausserhalb der Ebene liegende einander parallele
Linien zu ziehen, welche durch eine von A aus gezogene Linie in
den Punkten H und I geschnitten werden. Dann ist nach dem
Satze des vorigen § erstens HD parallel IE, zweitens HI parallel IG,
also vermöge des Parallelismus dieser beiden Linienpaare wieder
nach demselben Satze DF parallel mit EG. Somit haben wir allge-
mein bewiesen, dass wenn die Ecken eines Dreiecks sich in gera-
den Linien fortbewegen, die durch einen Punkt gehen, und zwei
Seiten parallel bleiben, auch die dritte es bleibt; oder dass, wenn
zwei Streckenpaare einem und demselben Streckenpaare proportio-
nirt sind, sie auch unter einander proportionirt sein müssen, sobald
die drei Streckenpaare 3 verschiedene Richtungen darbieten.

§ 78. Der Begriff einer Proportion zwischen vier parallelen
Strecken hat in dem Vorigen noch keine Bestimmung erfahren.
In der That ist dieser Fall, obgleich arithmetisch der einfachste,
doch geometrisch der verwickeltste, sofern zu 3 parallelen Strecken
die vierte Proportionale geometrisch nur durch zu Hülfe nehmen
einer neuen Richtung erfolgt, Nach dem Princip der im vorigen
§ geführten Entwickelung haben wir ein Streckenpaar einem ihm
parallelen als proportionirt zu setzen, wenn beide einem und dem-

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[112/0148] Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 77 — 78 c = BF, c1 = CG, so werden wieder vermöge der zweiten Proportion die Punkte A, F, G eine gerade Linie bilden; soll nun auch die dritte Proportion rich- tig sein, so müsste DF parallel mit EG sein; es ist also zu zeigen, dass, wenn die Ecken eines Dreiecks in geraden Linien fortrücken, die sich in Einem Punkte schneiden, und zwei von den Seiten pa- rallel bleiben, auch die dritte parallel bleiben müsse. Dieser Satz ergiebt sich sogleich, wenn die beiden Dreiecke oder (was auf das- selbe zurückläuft) die drei Linien, in welchen sich die Ecken be- wegen, nicht in derselben Ebene liegen. In diesem Falle darf man nur durch je zwei der von A ausgehenden Linien eine Ebene ge- legt denken, und durch den Punkt C eine mit BDF parallele Ebene legen, so wird diese die drei ersten Ebenen in Kanten schneiden, welche mit den Seiten jenes Dreiecks BDF parallel sind, und wovon zwei mit CE und CG zusammenfallen; somit wird auch die dritte mit EG zusammenfallen, also EG mit DF parallel sein. § 77. Liegen jene Linien in Einer Ebene, so hat man nur von B und C zwei ausserhalb der Ebene liegende einander parallele Linien zu ziehen, welche durch eine von A aus gezogene Linie in den Punkten H und I geschnitten werden. Dann ist nach dem Satze des vorigen § erstens HD parallel IE, zweitens HI parallel IG, also vermöge des Parallelismus dieser beiden Linienpaare wieder nach demselben Satze DF parallel mit EG. Somit haben wir allge- mein bewiesen, dass wenn die Ecken eines Dreiecks sich in gera- den Linien fortbewegen, die durch einen Punkt gehen, und zwei Seiten parallel bleiben, auch die dritte es bleibt; oder dass, wenn zwei Streckenpaare einem und demselben Streckenpaare proportio- nirt sind, sie auch unter einander proportionirt sein müssen, sobald die drei Streckenpaare 3 verschiedene Richtungen darbieten. § 78. Der Begriff einer Proportion zwischen vier parallelen Strecken hat in dem Vorigen noch keine Bestimmung erfahren. In der That ist dieser Fall, obgleich arithmetisch der einfachste, doch geometrisch der verwickeltste, sofern zu 3 parallelen Strecken die vierte Proportionale geometrisch nur durch zu Hülfe nehmen einer neuen Richtung erfolgt, Nach dem Princip der im vorigen § geführten Entwickelung haben wir ein Streckenpaar einem ihm parallelen als proportionirt zu setzen, wenn beide einem und dem-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 112. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/148>, abgerufen am 28.04.2024.