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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Division. -- Zahlengrösse. § 75
des rein geometrischen Verfahrens gegen ein dem ersten Anscheine
nach leichteres durch das Auftreten einer Menge schwieriger Unter-
suchungen von ganz heterogener Art, welche über das Wesen der
räumlichen Grössen nichts zur Anschauung bringen. Allerdings
kann man sich nicht der Aufgabe entziehen, die räumlichen Grössen
zu messen und das Resultat dieses Messens in einem Zahlenbegriff
auszudrücken. Allein diese Aufgabe kann nicht in der Geometrie
selbst hervortreten, sondern nur dann, wenn man ausgerüstet einer-
seits mit dem Zahlenbegriff, andrerseits mit den räumlichen An-
schauungen, jenen auf diese anwendet, also in einem gemischten
Zweige, welchen wir im allgemeinen Sinne mit dem Namen der
Messkunde belegen können, und von welchem die Trigonometrie
ein besonderer Zweig ist.*) Bis auf diesen Zweig nun die Aehn-
lichkeitslehre oder auch noch gar die Flächeninhaltslehre hinaus-
schieben zu wollen, wie es zwar nicht der Form nach, aber dem
Gehalte nach in der That bisher geschehen ist, hiesse die (reine)
Geometrie ihres wesentlichen Inhaltes berauben. Nun finden wir
zu dem Wege, den wir hier verlangen, in der neueren Geometrie
mannigfache Vorarbeiten, in unserer Wissenschaft aber ist uns der
Weg selbst aufs vollkommenste vorgezeichnet.

§ 75. Es bieten sich hier zwei Ausgangspunkte dar, welche
jedoch ihrem Wesen nach zusammenfallen, wie verschieden auch
ihr Ausdruck klingen mag. Nämlich vier Strecken, von denen
die beiden ersten und die beiden letzten unter sich parallel sind,
aber nicht diese mit jenen, stehen in Proportion, nach der ersten
Betrachtungsweise, wenn das Spatheck aus der ersten und vierten
gleich ist dem aus der zweiten und dritten, nach der zweiten Be-
trachtungsweise, wenn die Summe aus der ersten und dritten (im
Sinne unserer Wissenschaft) parallel ist mit der Summe aus der
zweiten und vierten. Schon aus der in § 67 geführten Entwicke-
lung geht die wesentliche Uebereinstimmung beider Betrachtungs-
weisen hervor, indem wenn
a1 . b = a . b1

*) Die Zahlengrösse, wie wir sie in unserer Wissenschaft entwickelt haben,
erscheint nicht als diskrete Zahl, d. h. nicht als eine Menge von Einheiten, son-
dern in stetiger Form, als Quotient stetiger Grössen, und setzt daher den diskre-
ten Zahlenbegriff keinesweges voraus.

Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 75
des rein geometrischen Verfahrens gegen ein dem ersten Anscheine
nach leichteres durch das Auftreten einer Menge schwieriger Unter-
suchungen von ganz heterogener Art, welche über das Wesen der
räumlichen Grössen nichts zur Anschauung bringen. Allerdings
kann man sich nicht der Aufgabe entziehen, die räumlichen Grössen
zu messen und das Resultat dieses Messens in einem Zahlenbegriff
auszudrücken. Allein diese Aufgabe kann nicht in der Geometrie
selbst hervortreten, sondern nur dann, wenn man ausgerüstet einer-
seits mit dem Zahlenbegriff, andrerseits mit den räumlichen An-
schauungen, jenen auf diese anwendet, also in einem gemischten
Zweige, welchen wir im allgemeinen Sinne mit dem Namen der
Messkunde belegen können, und von welchem die Trigonometrie
ein besonderer Zweig ist.*) Bis auf diesen Zweig nun die Aehn-
lichkeitslehre oder auch noch gar die Flächeninhaltslehre hinaus-
schieben zu wollen, wie es zwar nicht der Form nach, aber dem
Gehalte nach in der That bisher geschehen ist, hiesse die (reine)
Geometrie ihres wesentlichen Inhaltes berauben. Nun finden wir
zu dem Wege, den wir hier verlangen, in der neueren Geometrie
mannigfache Vorarbeiten, in unserer Wissenschaft aber ist uns der
Weg selbst aufs vollkommenste vorgezeichnet.

§ 75. Es bieten sich hier zwei Ausgangspunkte dar, welche
jedoch ihrem Wesen nach zusammenfallen, wie verschieden auch
ihr Ausdruck klingen mag. Nämlich vier Strecken, von denen
die beiden ersten und die beiden letzten unter sich parallel sind,
aber nicht diese mit jenen, stehen in Proportion, nach der ersten
Betrachtungsweise, wenn das Spatheck aus der ersten und vierten
gleich ist dem aus der zweiten und dritten, nach der zweiten Be-
trachtungsweise, wenn die Summe aus der ersten und dritten (im
Sinne unserer Wissenschaft) parallel ist mit der Summe aus der
zweiten und vierten. Schon aus der in § 67 geführten Entwicke-
lung geht die wesentliche Uebereinstimmung beider Betrachtungs-
weisen hervor, indem wenn
a1 . b = a . b1

*) Die Zahlengrösse, wie wir sie in unserer Wissenschaft entwickelt haben,
erscheint nicht als diskrete Zahl, d. h. nicht als eine Menge von Einheiten, son-
dern in stetiger Form, als Quotient stetiger Grössen, und setzt daher den diskre-
ten Zahlenbegriff keinesweges voraus.
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[110/0146] Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 75 des rein geometrischen Verfahrens gegen ein dem ersten Anscheine nach leichteres durch das Auftreten einer Menge schwieriger Unter- suchungen von ganz heterogener Art, welche über das Wesen der räumlichen Grössen nichts zur Anschauung bringen. Allerdings kann man sich nicht der Aufgabe entziehen, die räumlichen Grössen zu messen und das Resultat dieses Messens in einem Zahlenbegriff auszudrücken. Allein diese Aufgabe kann nicht in der Geometrie selbst hervortreten, sondern nur dann, wenn man ausgerüstet einer- seits mit dem Zahlenbegriff, andrerseits mit den räumlichen An- schauungen, jenen auf diese anwendet, also in einem gemischten Zweige, welchen wir im allgemeinen Sinne mit dem Namen der Messkunde belegen können, und von welchem die Trigonometrie ein besonderer Zweig ist. *) Bis auf diesen Zweig nun die Aehn- lichkeitslehre oder auch noch gar die Flächeninhaltslehre hinaus- schieben zu wollen, wie es zwar nicht der Form nach, aber dem Gehalte nach in der That bisher geschehen ist, hiesse die (reine) Geometrie ihres wesentlichen Inhaltes berauben. Nun finden wir zu dem Wege, den wir hier verlangen, in der neueren Geometrie mannigfache Vorarbeiten, in unserer Wissenschaft aber ist uns der Weg selbst aufs vollkommenste vorgezeichnet. § 75. Es bieten sich hier zwei Ausgangspunkte dar, welche jedoch ihrem Wesen nach zusammenfallen, wie verschieden auch ihr Ausdruck klingen mag. Nämlich vier Strecken, von denen die beiden ersten und die beiden letzten unter sich parallel sind, aber nicht diese mit jenen, stehen in Proportion, nach der ersten Betrachtungsweise, wenn das Spatheck aus der ersten und vierten gleich ist dem aus der zweiten und dritten, nach der zweiten Be- trachtungsweise, wenn die Summe aus der ersten und dritten (im Sinne unserer Wissenschaft) parallel ist mit der Summe aus der zweiten und vierten. Schon aus der in § 67 geführten Entwicke- lung geht die wesentliche Uebereinstimmung beider Betrachtungs- weisen hervor, indem wenn a1 . b = a . b1 *) Die Zahlengrösse, wie wir sie in unserer Wissenschaft entwickelt haben, erscheint nicht als diskrete Zahl, d. h. nicht als eine Menge von Einheiten, son- dern in stetiger Form, als Quotient stetiger Grössen, und setzt daher den diskre- ten Zahlenbegriff keinesweges voraus.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 110. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/146>, abgerufen am 28.04.2024.