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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 74 Gesetz für die Verknüpfung der Zahlengrössen.
a (b + g) = ab + ag
ist. Es ist nach der Definition des Produktes (§ 70)
P . a (b + g) = P a . (b + g),
wo der Punkt zugleich die Stelle der Klammern vertreten soll, der
Ausdruck der rechten Seite ist aber nach dem vorigen §
= P a . b + P a . g
= P . a b + P . a g.
Also ist wiederum nach dem vorigen §, da
P . a (b + g) = P . a b + P . a g
ist, auch a (b + g) = ab + ag. Durch Verknüpfung dieses Resul-
tates mit den früher gewonnenen gelangen wir nun zu dem allge-
meinen Lehrsatze:

"Alle Gesetze der arithmetischen Verknüpfungen gelten auch
für die Verknüpfungen der Zahlengrössen unter sich und mit
den Ausdehnungen; und alle Gesetze der äusseren Multiplika-
tion und ihrer Beziehung zur Addition und Subtraktion bleiben
bestehen, auch wenn man die Zahlengrösse als Ausdehnungs-
grösse null-ter Stufe nimmt, nur dass das Resultat der Divi-
sion mit ihr ein bestimmtes wird."

Wenden wir den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 55
für Ausdehnungen aufstellten, auch auf die Zahlengrössen an, als
Ausdehnungsgrössen null-ter Stufe, so zeigt sich, dass diese immer
unter sich und von allen Ausdehnungsgrössen unabhängig gedacht
werden müssen, wenn nicht etwa eine dieser Grössen null wird.
Die Null hingegen erscheint nach § 32 immer als abhängig. Auf der
andern Seite erscheinen die Zahlengrössen stets als einander gleich-
artig.

§ 74. Da wir schon in den Anwendungen zu den vorigen Ka-
piteln der leichteren Uebersicht wegen die Zahlengrösse mit aufge-
nommen hatten: so bleibt uns hier nur noch übrig, die hier ge-
wählte Methode auf die Geometrie anzuwenden. Es ist als ein we-
sentlicher Uebelstand bei den bisherigen Darstellungen der Geome-
trie zu betrachten, dass man bei der Behandlung der Aehnlichkeits-
lehre auf diskrete Zahlenverhältnisse zurückzugehen pflegt. Dies
Verfahren, was sich zuerst leicht darbietet, verwickelt, wie wir schon
oben andeuteten, bald genug in die schwierigen Untersuchungen
über inkommensurable Grössen; und es rächt sich das Aufgeben

§ 74 Gesetz für die Verknüpfung der Zahlengrössen.
α (β + γ) = αβ + αγ
ist. Es ist nach der Definition des Produktes (§ 70)
P . α (β + γ) = P α . (β + γ),
wo der Punkt zugleich die Stelle der Klammern vertreten soll, der
Ausdruck der rechten Seite ist aber nach dem vorigen §
= P α . β + P α . γ
= P . α β + P . α γ.
Also ist wiederum nach dem vorigen §, da
P . α (β + γ) = P . α β + P . α γ
ist, auch α (β + γ) = αβ + αγ. Durch Verknüpfung dieses Resul-
tates mit den früher gewonnenen gelangen wir nun zu dem allge-
meinen Lehrsatze:

„Alle Gesetze der arithmetischen Verknüpfungen gelten auch
für die Verknüpfungen der Zahlengrössen unter sich und mit
den Ausdehnungen; und alle Gesetze der äusseren Multiplika-
tion und ihrer Beziehung zur Addition und Subtraktion bleiben
bestehen, auch wenn man die Zahlengrösse als Ausdehnungs-
grösse null-ter Stufe nimmt, nur dass das Resultat der Divi-
sion mit ihr ein bestimmtes wird.“

Wenden wir den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 55
für Ausdehnungen aufstellten, auch auf die Zahlengrössen an, als
Ausdehnungsgrössen null-ter Stufe, so zeigt sich, dass diese immer
unter sich und von allen Ausdehnungsgrössen unabhängig gedacht
werden müssen, wenn nicht etwa eine dieser Grössen null wird.
Die Null hingegen erscheint nach § 32 immer als abhängig. Auf der
andern Seite erscheinen die Zahlengrössen stets als einander gleich-
artig.

§ 74. Da wir schon in den Anwendungen zu den vorigen Ka-
piteln der leichteren Uebersicht wegen die Zahlengrösse mit aufge-
nommen hatten: so bleibt uns hier nur noch übrig, die hier ge-
wählte Methode auf die Geometrie anzuwenden. Es ist als ein we-
sentlicher Uebelstand bei den bisherigen Darstellungen der Geome-
trie zu betrachten, dass man bei der Behandlung der Aehnlichkeits-
lehre auf diskrete Zahlenverhältnisse zurückzugehen pflegt. Dies
Verfahren, was sich zuerst leicht darbietet, verwickelt, wie wir schon
oben andeuteten, bald genug in die schwierigen Untersuchungen
über inkommensurable Grössen; und es rächt sich das Aufgeben

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[109/0145] § 74 Gesetz für die Verknüpfung der Zahlengrössen. α (β + γ) = αβ + αγ ist. Es ist nach der Definition des Produktes (§ 70) P . α (β + γ) = P α . (β + γ), wo der Punkt zugleich die Stelle der Klammern vertreten soll, der Ausdruck der rechten Seite ist aber nach dem vorigen § = P α . β + P α . γ = P . α β + P . α γ. Also ist wiederum nach dem vorigen §, da P . α (β + γ) = P . α β + P . α γ ist, auch α (β + γ) = αβ + αγ. Durch Verknüpfung dieses Resul- tates mit den früher gewonnenen gelangen wir nun zu dem allge- meinen Lehrsatze: „Alle Gesetze der arithmetischen Verknüpfungen gelten auch für die Verknüpfungen der Zahlengrössen unter sich und mit den Ausdehnungen; und alle Gesetze der äusseren Multiplika- tion und ihrer Beziehung zur Addition und Subtraktion bleiben bestehen, auch wenn man die Zahlengrösse als Ausdehnungs- grösse null-ter Stufe nimmt, nur dass das Resultat der Divi- sion mit ihr ein bestimmtes wird.“ Wenden wir den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 55 für Ausdehnungen aufstellten, auch auf die Zahlengrössen an, als Ausdehnungsgrössen null-ter Stufe, so zeigt sich, dass diese immer unter sich und von allen Ausdehnungsgrössen unabhängig gedacht werden müssen, wenn nicht etwa eine dieser Grössen null wird. Die Null hingegen erscheint nach § 32 immer als abhängig. Auf der andern Seite erscheinen die Zahlengrössen stets als einander gleich- artig. § 74. Da wir schon in den Anwendungen zu den vorigen Ka- piteln der leichteren Uebersicht wegen die Zahlengrösse mit aufge- nommen hatten: so bleibt uns hier nur noch übrig, die hier ge- wählte Methode auf die Geometrie anzuwenden. Es ist als ein we- sentlicher Uebelstand bei den bisherigen Darstellungen der Geome- trie zu betrachten, dass man bei der Behandlung der Aehnlichkeits- lehre auf diskrete Zahlenverhältnisse zurückzugehen pflegt. Dies Verfahren, was sich zuerst leicht darbietet, verwickelt, wie wir schon oben andeuteten, bald genug in die schwierigen Untersuchungen über inkommensurable Grössen; und es rächt sich das Aufgeben

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 109. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/145>, abgerufen am 28.04.2024.