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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 64 Gleichheit eindeutiger Quotienten.
[Formel 1] ,
wo c zwar von A und B unabhängig, aber von A . B abhängig sei.
Um nun zu zeigen, dass dann, wenn
[Formel 2] sein müsse, suchen wir den Faktor c durch Hinzufügung einer
von A . B unabhängigen Strecke p selbst davon unabhängig zu machen.
Man erhält dann statt A1 . c den Ausdruck A1 . (c + p); diesem wird
ein Ausdruck gleichgesetzt werden können, dessen erster Faktor
A und dessen zweiter mit (c + p) gleichartig ist, und also als
Summe zweier mit c und p gleichartiger Stücke dargestellt werden
kann, es sei derselbe c2 + p1 so hat man
[Formel 3] .
Multiplicirt man diese Gleichung mit p, so erhält man
[Formel 4] ist,
[Formel 5] und daraus folgt, da die entsprechenden Faktoren gleichartig sind,
nach § 63 die Gleichung
[Formel 6] .
Führt man daher statt c2 diesen Werth c1 oben ein, so erhält
man
[Formel 7] .
Und da nun p von A . B unabhängig war, also auch (c + p) davon
unabhängig ist, so können wir nun das oben erwiesene Gesetz an-
wenden, dass
[Formel 8] ist; also auch, mit p multiplicirt,
[Formel 9] ;
und da hier die entsprechenden Faktoren gleichartig sind, so hat
man
[Formel 10] auch dann noch, wenn c von A . B abhängig ist. Nun können wir
dies Resultat leicht ausdehnen auf den Fall, dass die Ausdrücke
und welche der Gleichung

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§ 64 Gleichheit eindeutiger Quotienten.
[Formel 1] ,
wo c zwar von A und B unabhängig, aber von A . B abhängig sei.
Um nun zu zeigen, dass dann, wenn
[Formel 2] sein müsse, suchen wir den Faktor c durch Hinzufügung einer
von A . B unabhängigen Strecke p selbst davon unabhängig zu machen.
Man erhält dann statt A1 . c den Ausdruck A1 . (c + p); diesem wird
ein Ausdruck gleichgesetzt werden können, dessen erster Faktor
A und dessen zweiter mit (c + p) gleichartig ist, und also als
Summe zweier mit c und p gleichartiger Stücke dargestellt werden
kann, es sei derselbe c2 + p1 so hat man
[Formel 3] .
Multiplicirt man diese Gleichung mit p, so erhält man
[Formel 4] ist,
[Formel 5] und daraus folgt, da die entsprechenden Faktoren gleichartig sind,
nach § 63 die Gleichung
[Formel 6] .
Führt man daher statt c2 diesen Werth c1 oben ein, so erhält
man
[Formel 7] .
Und da nun p von A . B unabhängig war, also auch (c + p) davon
unabhängig ist, so können wir nun das oben erwiesene Gesetz an-
wenden, dass
[Formel 8] ist; also auch, mit p multiplicirt,
[Formel 9] ;
und da hier die entsprechenden Faktoren gleichartig sind, so hat
man
[Formel 10] auch dann noch, wenn c von A . B abhängig ist. Nun können wir
dies Resultat leicht ausdehnen auf den Fall, dass die Ausdrücke
und welche der Gleichung

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[97/0133] § 64 Gleichheit eindeutiger Quotienten. [FORMEL], wo c zwar von A und B unabhängig, aber von A . B abhängig sei. Um nun zu zeigen, dass dann, wenn [FORMEL] sein müsse, suchen wir den Faktor c durch Hinzufügung einer von A . B unabhängigen Strecke p selbst davon unabhängig zu machen. Man erhält dann statt A1 . c den Ausdruck A1 . (c + p); diesem wird ein Ausdruck gleichgesetzt werden können, dessen erster Faktor A und dessen zweiter mit (c + p) gleichartig ist, und also als Summe zweier mit c und p gleichartiger Stücke dargestellt werden kann, es sei derselbe c2 + p1 so hat man [FORMEL]. Multiplicirt man diese Gleichung mit p, so erhält man [FORMEL] ist, [FORMEL] und daraus folgt, da die entsprechenden Faktoren gleichartig sind, nach § 63 die Gleichung [FORMEL]. Führt man daher statt c2 diesen Werth c1 oben ein, so erhält man [FORMEL]. Und da nun p von A . B unabhängig war, also auch (c + p) davon unabhängig ist, so können wir nun das oben erwiesene Gesetz an- wenden, dass [FORMEL] ist; also auch, mit p multiplicirt, [FORMEL]; und da hier die entsprechenden Faktoren gleichartig sind, so hat man [FORMEL] auch dann noch, wenn c von A . B abhängig ist. Nun können wir dies Resultat leicht ausdehnen auf den Fall, dass die Ausdrücke [FORMEL] und [FORMEL] welche der Gleichung 7

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 97. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/133>, abgerufen am 27.04.2024.