Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Aeussere Division. § 64 sich, dass, wenn A, B, C von einander unabhängig sind, und [Formel 2] ist, dann auch allemal [Formel 3] sein muss. Denn aus der ersten Gleichung hat man nach der De- finition [Formel 4] . Und setzt man [Formel 6] Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit C, die zweite mit B (auf zweiter Stelle), so hat man [Formel 7] Also auch [Formel 8] . Da nun B1 . C mit B . C1 gleichartig ist, und der andere Faktor (A) sowohl als das Produkt auf beiden Seiten gleich ist, so muss (§ 63) [Formel 9] sein. Also wenn [Formel 10] ist, so geben die Ausdrücke A . B unabhängigen Grösse verbunden dasselbe Resultat. Aber wir können nun zeigen, dass dies auch dann noch der Fall sein müsse, wenn beide Ausdrücke mit einer Grösse C verbunden sind, welche nur von A und von B unabhängig ist, ohne zugleich von dem Produkte A . B unabhängig zu sein. Zunächst erweisen wir dies für den Fall, dass C eine Strecke sei, die wir mit c bezeichnen wollen. Es sei also Aeussere Division. § 64 sich, dass, wenn A, B, C von einander unabhängig sind, und [Formel 2] ist, dann auch allemal [Formel 3] sein muss. Denn aus der ersten Gleichung hat man nach der De- finition [Formel 4] . Und setzt man [Formel 6] Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit C, die zweite mit B (auf zweiter Stelle), so hat man [Formel 7] Also auch [Formel 8] . Da nun B1 . C mit B . C1 gleichartig ist, und der andere Faktor (A) sowohl als das Produkt auf beiden Seiten gleich ist, so muss (§ 63) [Formel 9] sein. Also wenn [Formel 10] ist, so geben die Ausdrücke A . B unabhängigen Grösse verbunden dasselbe Resultat. Aber wir können nun zeigen, dass dies auch dann noch der Fall sein müsse, wenn beide Ausdrücke mit einer Grösse C verbunden sind, welche nur von A und von B unabhängig ist, ohne zugleich von dem Produkte A . B unabhängig zu sein. Zunächst erweisen wir dies für den Fall, dass C eine Strecke sei, die wir mit c bezeichnen wollen. Es sei also <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0132" n="96"/><fw place="top" type="header">Aeussere Division. <hi rendition="#b">§ 64</hi></fw><lb/><formula notation="TeX">\frac {A_1}{A}</formula> mit verschiedenen Grössen zu untersuchen Zunächst ergiebt<lb/> sich, dass, wenn A, B, C von einander unabhängig sind, und<lb/><formula/> ist, dann auch allemal<lb/><formula/> sein muss. Denn aus der ersten Gleichung hat man nach der De-<lb/> finition<lb/><formula/>.<lb/> Und setzt man <formula notation="TeX">\frac {A_1}{A}</formula> C = C<hi rendition="#sub">1</hi> so ist<lb/><formula/> Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit C, die zweite mit<lb/> B (auf zweiter Stelle), so hat man<lb/><formula/> Also auch<lb/><formula/>.<lb/> Da nun B<hi rendition="#sub">1</hi> . C mit B . C<hi rendition="#sub">1</hi> gleichartig ist, und der andere Faktor (A)<lb/> sowohl als das Produkt auf beiden Seiten gleich ist, so muss (§ 63)<lb/><formula/> sein. Also wenn<lb/><formula/> ist, so geben die Ausdrücke <formula notation="TeX">\frac {A_1}{A}</formula> und <formula notation="TeX">\frac {B_1}{B}</formula> mit jeder beliebigen von<lb/> A . B unabhängigen Grösse verbunden dasselbe Resultat. Aber wir<lb/> können nun zeigen, dass dies auch dann noch der Fall sein müsse,<lb/> wenn beide Ausdrücke mit einer Grösse C verbunden sind, welche nur<lb/> von A und von B unabhängig ist, ohne zugleich von dem Produkte<lb/> A . B unabhängig zu sein. Zunächst erweisen wir dies für den<lb/> Fall, dass C eine Strecke sei, die wir mit c bezeichnen wollen.<lb/> Es sei also<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [96/0132]
Aeussere Division. § 64
[FORMEL] mit verschiedenen Grössen zu untersuchen Zunächst ergiebt
sich, dass, wenn A, B, C von einander unabhängig sind, und
[FORMEL] ist, dann auch allemal
[FORMEL] sein muss. Denn aus der ersten Gleichung hat man nach der De-
finition
[FORMEL].
Und setzt man [FORMEL] C = C1 so ist
[FORMEL] Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit C, die zweite mit
B (auf zweiter Stelle), so hat man
[FORMEL] Also auch
[FORMEL].
Da nun B1 . C mit B . C1 gleichartig ist, und der andere Faktor (A)
sowohl als das Produkt auf beiden Seiten gleich ist, so muss (§ 63)
[FORMEL] sein. Also wenn
[FORMEL] ist, so geben die Ausdrücke [FORMEL] und [FORMEL] mit jeder beliebigen von
A . B unabhängigen Grösse verbunden dasselbe Resultat. Aber wir
können nun zeigen, dass dies auch dann noch der Fall sein müsse,
wenn beide Ausdrücke mit einer Grösse C verbunden sind, welche nur
von A und von B unabhängig ist, ohne zugleich von dem Produkte
A . B unabhängig zu sein. Zunächst erweisen wir dies für den
Fall, dass C eine Strecke sei, die wir mit c bezeichnen wollen.
Es sei also
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