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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Division. § 62

§ 62. Es bleibt nun zu untersuchen, ob in diesem Falle der
Quotient eindeutig ist, oder mehrdeutig, und wie im letztern Falle
die Gesammtheit seiner Werthe gefunden werden kann. Es sei
der zu untersuchende Quotient, und B der Grösse A unterge-
ordnet. Nach dem vorigen § giebt es nun allemal eine Ausdehnung,
welche mit B multiplicirt A giebt, d. h. welche als Quotient aufge-
fasst werden kann; es sei C eine solche, so dass also
[Formel 2] ist, und die Frage ist die, ob es noch andere von C verschiedene
Ausdehnungen gebe, welche statt C in diese Gleichung gesetzt wer-
den können. Jedenfalls müsste dieselbe (§ 61) von derselben
Stufe sein wie C. Jede von C verschiedene Ausdehnung derselben
Stufe wird sich, wenn X eine beliebige Grösse derselben Stufe ist,
darstellen lassen in der Form C + X, und es ist also X so zu be-
stimmen, dass
[Formel 3] ist, wenn C + X auch als ein Werth des Quotienten erscheinen
soll. Man hat dann
[Formel 5] ,
d. h.
[Formel 6]

Nun giebt aber nach § 55 nur das Produkt zweier abhängiger
Grössen, aber ein solches auch allemal null, folglich genügt ausser
dem partiellen Werth C des Quotienten noch jede andere Grösse,
welche von ihm um einen vom Divisor abhängigen Summanden ver-
schieden ist, aber auch keine andere. Die Gesammtheit dieser Grös-
sen, die von B abhängig sind, oder welche statt X gesetzt der
Gleichung
[Formel 7] genügen, können wir nun nach der Definition des Quotienten mit
bezeichnen, somit haben wir
[Formel 9] Dies Resultat können wir in folgendem Satze darstellen:

Aeussere Division. § 62

§ 62. Es bleibt nun zu untersuchen, ob in diesem Falle der
Quotient eindeutig ist, oder mehrdeutig, und wie im letztern Falle
die Gesammtheit seiner Werthe gefunden werden kann. Es sei
der zu untersuchende Quotient, und B der Grösse A unterge-
ordnet. Nach dem vorigen § giebt es nun allemal eine Ausdehnung,
welche mit B multiplicirt A giebt, d. h. welche als Quotient aufge-
fasst werden kann; es sei C eine solche, so dass also
[Formel 2] ist, und die Frage ist die, ob es noch andere von C verschiedene
Ausdehnungen gebe, welche statt C in diese Gleichung gesetzt wer-
den können. Jedenfalls müsste dieselbe (§ 61) von derselben
Stufe sein wie C. Jede von C verschiedene Ausdehnung derselben
Stufe wird sich, wenn X eine beliebige Grösse derselben Stufe ist,
darstellen lassen in der Form C + X, und es ist also X so zu be-
stimmen, dass
[Formel 3] ist, wenn C + X auch als ein Werth des Quotienten erscheinen
soll. Man hat dann
[Formel 5] ,
d. h.
[Formel 6]

Nun giebt aber nach § 55 nur das Produkt zweier abhängiger
Grössen, aber ein solches auch allemal null, folglich genügt ausser
dem partiellen Werth C des Quotienten noch jede andere Grösse,
welche von ihm um einen vom Divisor abhängigen Summanden ver-
schieden ist, aber auch keine andere. Die Gesammtheit dieser Grös-
sen, die von B abhängig sind, oder welche statt X gesetzt der
Gleichung
[Formel 7] genügen, können wir nun nach der Definition des Quotienten mit
bezeichnen, somit haben wir
[Formel 9] Dies Resultat können wir in folgendem Satze darstellen:

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[92/0128] Aeussere Division. § 62 § 62. Es bleibt nun zu untersuchen, ob in diesem Falle der Quotient eindeutig ist, oder mehrdeutig, und wie im letztern Falle die Gesammtheit seiner Werthe gefunden werden kann. Es sei [FORMEL] der zu untersuchende Quotient, und B der Grösse A unterge- ordnet. Nach dem vorigen § giebt es nun allemal eine Ausdehnung, welche mit B multiplicirt A giebt, d. h. welche als Quotient aufge- fasst werden kann; es sei C eine solche, so dass also [FORMEL] ist, und die Frage ist die, ob es noch andere von C verschiedene Ausdehnungen gebe, welche statt C in diese Gleichung gesetzt wer- den können. Jedenfalls müsste dieselbe (§ 61) von derselben Stufe sein wie C. Jede von C verschiedene Ausdehnung derselben Stufe wird sich, wenn X eine beliebige Grösse derselben Stufe ist, darstellen lassen in der Form C + X, und es ist also X so zu be- stimmen, dass [FORMEL] ist, wenn C + X auch als ein Werth des Quotienten [FORMEL] erscheinen soll. Man hat dann [FORMEL], d. h. [FORMEL] Nun giebt aber nach § 55 nur das Produkt zweier abhängiger Grössen, aber ein solches auch allemal null, folglich genügt ausser dem partiellen Werth C des Quotienten noch jede andere Grösse, welche von ihm um einen vom Divisor abhängigen Summanden ver- schieden ist, aber auch keine andere. Die Gesammtheit dieser Grös- sen, die von B abhängig sind, oder welche statt X gesetzt der Gleichung [FORMEL] genügen, können wir nun nach der Definition des Quotienten mit [FORMEL] bezeichnen, somit haben wir [FORMEL] Dies Resultat können wir in folgendem Satze darstellen:

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 92. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/128>, abgerufen am 28.04.2024.