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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 61 Bedeutung der äusseren Division.
nur mit Zeichenwechsel vertauschbar sind, beide Quotienten ent-
gegengesetzten Werth haben. *) Daher wird man im ersteren Falle
auch das Zeichen des Punktes im Nenner weglassen können, wenn
man nicht etwa die Division noch ins Besondere als äussere be-
zeichnen will.

§ 61. Es kommt nun darauf an, aus der formellen Bestim-
mung die wesentliche Bedeutung des Quotienten zu ermitteln. Da
das äussere Produkt zweier Ausdehnungen stets eine Ausdehnung
giebt, welcher jene beiden untergeordnet sind und deren Stufen-
zahl die Summe ist aus den Stufenzahlen der Faktoren, so folgt
zunächst, dass auch der Quotient nur dann eine Ausdehnung dar-
stellen könne, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet ist,
d. h. von dem System des Dividend ganz umfasst wird; und dass
dann zugleich der Divisor von niederer Stufe sein muss als der Di-
vidend, die Stufenzahl des Quotienten aber die Differenz ist zwi-
schen denen des Dividend und Divisors. In jedem andern Falle
kann also der Quotient keine Ausdehnung darstellen, sondern nur
eine formelle Bedeutung haben, die wir vorläufig auf sich beruhen
lassen. Umgekehrt zeigt sich aber auch, dass der Quotient jedes-
mal dann eine Ausdehnung darstellen muss, wenn jene Bedingung
erfüllt ist, dass nämlich der Divisor dem Dividend untergeordnet
sei. Nämlich nach § 48 kann man jede Ausdehnung n-ter Stufe
auf (n--1) beliebige ihr untergeordnete Faktoren bringen, sobald
diese nur von einander unabhängig sind, und somit kann man sie
auch auf jede geringere Anzahl untergeordneter Faktoren bringen,
d. h. sie als Produkt darstellen, dessen einer Faktor eine beliebige
ihr untergeordnete Ausdehnung ist. Also

"Der Quotient ist nur dann, aber auch stets dann, eine Aus-
dehnung, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet und
von niederer Stufe ist, und zwar ist seine Stufenzahl dann der
Unterschied der beiden Stufenzahlen des Dividend und Divisors."
*) Da die Vertauschung der Faktoren nur dann einen Zeichenwechsel erfor-
dert, wenn beide von ungerader Stufenzahl sind, das Produkt also von gerader,
so werden auch beide Quotienten nur dann entgegengesetzten Werth haben, wenn
der Dividend von gerader, der Divisor von ungerader Stufe ist; in jedem andern
Falle werden sie gleichen Werth haben.

§ 61 Bedeutung der äusseren Division.
nur mit Zeichenwechsel vertauschbar sind, beide Quotienten ent-
gegengesetzten Werth haben. *) Daher wird man im ersteren Falle
auch das Zeichen des Punktes im Nenner weglassen können, wenn
man nicht etwa die Division noch ins Besondere als äussere be-
zeichnen will.

§ 61. Es kommt nun darauf an, aus der formellen Bestim-
mung die wesentliche Bedeutung des Quotienten zu ermitteln. Da
das äussere Produkt zweier Ausdehnungen stets eine Ausdehnung
giebt, welcher jene beiden untergeordnet sind und deren Stufen-
zahl die Summe ist aus den Stufenzahlen der Faktoren, so folgt
zunächst, dass auch der Quotient nur dann eine Ausdehnung dar-
stellen könne, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet ist,
d. h. von dem System des Dividend ganz umfasst wird; und dass
dann zugleich der Divisor von niederer Stufe sein muss als der Di-
vidend, die Stufenzahl des Quotienten aber die Differenz ist zwi-
schen denen des Dividend und Divisors. In jedem andern Falle
kann also der Quotient keine Ausdehnung darstellen, sondern nur
eine formelle Bedeutung haben, die wir vorläufig auf sich beruhen
lassen. Umgekehrt zeigt sich aber auch, dass der Quotient jedes-
mal dann eine Ausdehnung darstellen muss, wenn jene Bedingung
erfüllt ist, dass nämlich der Divisor dem Dividend untergeordnet
sei. Nämlich nach § 48 kann man jede Ausdehnung n-ter Stufe
auf (n—1) beliebige ihr untergeordnete Faktoren bringen, sobald
diese nur von einander unabhängig sind, und somit kann man sie
auch auf jede geringere Anzahl untergeordneter Faktoren bringen,
d. h. sie als Produkt darstellen, dessen einer Faktor eine beliebige
ihr untergeordnete Ausdehnung ist. Also

„Der Quotient ist nur dann, aber auch stets dann, eine Aus-
dehnung, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet und
von niederer Stufe ist, und zwar ist seine Stufenzahl dann der
Unterschied der beiden Stufenzahlen des Dividend und Divisors.“
*) Da die Vertauschung der Faktoren nur dann einen Zeichenwechsel erfor-
dert, wenn beide von ungerader Stufenzahl sind, das Produkt also von gerader,
so werden auch beide Quotienten nur dann entgegengesetzten Werth haben, wenn
der Dividend von gerader, der Divisor von ungerader Stufe ist; in jedem andern
Falle werden sie gleichen Werth haben.
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[91/0127] § 61 Bedeutung der äusseren Division. nur mit Zeichenwechsel vertauschbar sind, beide Quotienten ent- gegengesetzten Werth haben. *) Daher wird man im ersteren Falle auch das Zeichen des Punktes im Nenner weglassen können, wenn man nicht etwa die Division noch ins Besondere als äussere be- zeichnen will. § 61. Es kommt nun darauf an, aus der formellen Bestim- mung die wesentliche Bedeutung des Quotienten zu ermitteln. Da das äussere Produkt zweier Ausdehnungen stets eine Ausdehnung giebt, welcher jene beiden untergeordnet sind und deren Stufen- zahl die Summe ist aus den Stufenzahlen der Faktoren, so folgt zunächst, dass auch der Quotient nur dann eine Ausdehnung dar- stellen könne, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet ist, d. h. von dem System des Dividend ganz umfasst wird; und dass dann zugleich der Divisor von niederer Stufe sein muss als der Di- vidend, die Stufenzahl des Quotienten aber die Differenz ist zwi- schen denen des Dividend und Divisors. In jedem andern Falle kann also der Quotient keine Ausdehnung darstellen, sondern nur eine formelle Bedeutung haben, die wir vorläufig auf sich beruhen lassen. Umgekehrt zeigt sich aber auch, dass der Quotient jedes- mal dann eine Ausdehnung darstellen muss, wenn jene Bedingung erfüllt ist, dass nämlich der Divisor dem Dividend untergeordnet sei. Nämlich nach § 48 kann man jede Ausdehnung n-ter Stufe auf (n—1) beliebige ihr untergeordnete Faktoren bringen, sobald diese nur von einander unabhängig sind, und somit kann man sie auch auf jede geringere Anzahl untergeordneter Faktoren bringen, d. h. sie als Produkt darstellen, dessen einer Faktor eine beliebige ihr untergeordnete Ausdehnung ist. Also „Der Quotient ist nur dann, aber auch stets dann, eine Aus- dehnung, wenn der Divisor dem Dividend untergeordnet und von niederer Stufe ist, und zwar ist seine Stufenzahl dann der Unterschied der beiden Stufenzahlen des Dividend und Divisors.“ *) Da die Vertauschung der Faktoren nur dann einen Zeichenwechsel erfor- dert, wenn beide von ungerader Stufenzahl sind, das Produkt also von gerader, so werden auch beide Quotienten nur dann entgegengesetzten Werth haben, wenn der Dividend von gerader, der Divisor von ungerader Stufe ist; in jedem andern Falle werden sie gleichen Werth haben.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 91. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/127>, abgerufen am 28.04.2024.