Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 58 wird, so will ich hier nur ein Paar Beispiele geben, um zu zeigen,mit welcher Leichtigkeit sich durch Hülfe unserer Analyse die hier- hergehörigen Aufgaben lösen lassen, und in welcher Ergiebigkeit die interessantesten Sätze daraus gleichsam hervorsprudeln. Zu- erst sei die Aufgabe die, aus dem Momente in Bezug auf einen Punkt das in Bezug auf einen andern um eine Strecke von gege- bener Länge und Richtung von ihm entfernten Punkt zu finden, wenn ausserdem die Gesammtkraft (die Summe der als Strecken dar- gestellten Kräfte) ihrer Länge und Richtung nach gegeben ist. Es seien s und t die beiden Punkte Ms das gegebene auf den ersten Punkt bezügliche, Mt das auf den zweiten bezügliche Moment, [ab], [gd] .... die Kräfte a, g, ihre Angriffspunkte, s die Ge- sammtkraft ihrer Länge und Richtung nach, also [Formel 1] Dann ist [Formel 2] Zieht man beide Gleichungen von einander ab, so erhält man, da [Formel 3] ist u. s. w., die Gleichung [Formel 4] , wodurch die Aufgabe gelöst ist, und man hat den Satz gewonnen: "Rückt der Beziehungspunkt um eine Strecke fort, so nimmt Hierin liegt zugleich, dass das Moment dasselbe bleibt, wenn "die Momente in Bezug auf alle Punkte, welche in einer und Ferner "Ist das Moment in Bezug auf irgend einen Punkt null, so ist *) Hierbei ist das Wort "zunehmen" in demselben allgemeinen Sinne ge-
nommen, in welchem man auch sagen kann, 8 habe um (-- 3) zugenommen, wenn 5 daraus geworden ist. Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 58 wird, so will ich hier nur ein Paar Beispiele geben, um zu zeigen,mit welcher Leichtigkeit sich durch Hülfe unserer Analyse die hier- hergehörigen Aufgaben lösen lassen, und in welcher Ergiebigkeit die interessantesten Sätze daraus gleichsam hervorsprudeln. Zu- erst sei die Aufgabe die, aus dem Momente in Bezug auf einen Punkt das in Bezug auf einen andern um eine Strecke von gege- bener Länge und Richtung von ihm entfernten Punkt zu finden, wenn ausserdem die Gesammtkraft (die Summe der als Strecken dar- gestellten Kräfte) ihrer Länge und Richtung nach gegeben ist. Es seien σ und τ die beiden Punkte Mσ das gegebene auf den ersten Punkt bezügliche, Mτ das auf den zweiten bezügliche Moment, [αβ], [γδ] .... die Kräfte α, γ, ihre Angriffspunkte, s die Ge- sammtkraft ihrer Länge und Richtung nach, also [Formel 1] Dann ist [Formel 2] Zieht man beide Gleichungen von einander ab, so erhält man, da [Formel 3] ist u. s. w., die Gleichung [Formel 4] , wodurch die Aufgabe gelöst ist, und man hat den Satz gewonnen: „Rückt der Beziehungspunkt um eine Strecke fort, so nimmt Hierin liegt zugleich, dass das Moment dasselbe bleibt, wenn „die Momente in Bezug auf alle Punkte, welche in einer und Ferner „Ist das Moment in Bezug auf irgend einen Punkt null, so ist *) Hierbei ist das Wort „zunehmen“ in demselben allgemeinen Sinne ge-
nommen, in welchem man auch sagen kann, 8 habe um (— 3) zugenommen, wenn 5 daraus geworden ist. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0124" n="88"/><fw place="top" type="header">Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. <hi rendition="#b">§ 58</hi></fw><lb/> wird, so will ich hier nur ein Paar Beispiele geben, um zu zeigen,<lb/> mit welcher Leichtigkeit sich durch Hülfe unserer Analyse die hier-<lb/> hergehörigen Aufgaben lösen lassen, und in welcher Ergiebigkeit<lb/> die interessantesten Sätze daraus gleichsam hervorsprudeln. Zu-<lb/> erst sei die Aufgabe die, aus dem Momente in Bezug auf einen<lb/> Punkt das in Bezug auf einen andern um eine Strecke von gege-<lb/> bener Länge und Richtung von ihm entfernten Punkt zu finden,<lb/> wenn ausserdem die Gesammtkraft (die Summe der als Strecken dar-<lb/> gestellten Kräfte) ihrer Länge und Richtung nach gegeben ist. Es<lb/> seien σ und τ die beiden Punkte M<hi rendition="#sub">σ</hi> das gegebene auf den ersten<lb/> Punkt bezügliche, M<hi rendition="#sub">τ</hi> das auf den zweiten bezügliche Moment,<lb/> [αβ], [γδ] .... die Kräfte α, γ, ihre Angriffspunkte, s die Ge-<lb/> sammtkraft ihrer Länge und Richtung nach, also<lb/><formula/> Dann ist<lb/><formula/> Zieht man beide Gleichungen von einander ab, so erhält man, da<lb/><formula/> ist u. s. w., die Gleichung<lb/><formula/>,<lb/> wodurch die Aufgabe gelöst ist, und man hat den Satz gewonnen:</p><lb/> <cit> <quote> <hi rendition="#et">„Rückt der Beziehungspunkt um eine Strecke fort, so nimmt<lb/> das Moment um das äussere Produkt der Gesammtkraft in diese<lb/> Strecke zu.“ <note place="foot" n="*)">Hierbei ist das Wort „zunehmen“ in demselben allgemeinen Sinne ge-<lb/> nommen, in welchem man auch sagen kann, 8 habe um (— 3) zugenommen,<lb/> wenn 5 daraus geworden ist.</note></hi> </quote> </cit><lb/> <p>Hierin liegt zugleich, dass das Moment dasselbe bleibt, wenn<lb/> jenes äussere Produkt null ist, d. h. wenn der Beziehungspunkt in<lb/> der Richtung der Gesammtkraft fortschreitet, oder anders ausge-<lb/> drückt, dass</p><lb/> <cit> <quote> <hi rendition="#et">„die Momente in Bezug auf alle Punkte, welche in einer und<lb/> derselben mit der Gesammtkraft parallelen Linie liegen, ein-<lb/> ander gleich sind.</hi> </quote> </cit><lb/> <p>Ferner</p><lb/> <cit> <quote> <hi rendition="#et">„Ist das Moment in Bezug auf irgend einen Punkt null, so ist</hi><lb/> </quote> </cit> </div> </div> </body> </text> </TEI> [88/0124]
Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 58
wird, so will ich hier nur ein Paar Beispiele geben, um zu zeigen,
mit welcher Leichtigkeit sich durch Hülfe unserer Analyse die hier-
hergehörigen Aufgaben lösen lassen, und in welcher Ergiebigkeit
die interessantesten Sätze daraus gleichsam hervorsprudeln. Zu-
erst sei die Aufgabe die, aus dem Momente in Bezug auf einen
Punkt das in Bezug auf einen andern um eine Strecke von gege-
bener Länge und Richtung von ihm entfernten Punkt zu finden,
wenn ausserdem die Gesammtkraft (die Summe der als Strecken dar-
gestellten Kräfte) ihrer Länge und Richtung nach gegeben ist. Es
seien σ und τ die beiden Punkte Mσ das gegebene auf den ersten
Punkt bezügliche, Mτ das auf den zweiten bezügliche Moment,
[αβ], [γδ] .... die Kräfte α, γ, ihre Angriffspunkte, s die Ge-
sammtkraft ihrer Länge und Richtung nach, also
[FORMEL] Dann ist
[FORMEL] Zieht man beide Gleichungen von einander ab, so erhält man, da
[FORMEL] ist u. s. w., die Gleichung
[FORMEL],
wodurch die Aufgabe gelöst ist, und man hat den Satz gewonnen:
„Rückt der Beziehungspunkt um eine Strecke fort, so nimmt
das Moment um das äussere Produkt der Gesammtkraft in diese
Strecke zu.“ *)
Hierin liegt zugleich, dass das Moment dasselbe bleibt, wenn
jenes äussere Produkt null ist, d. h. wenn der Beziehungspunkt in
der Richtung der Gesammtkraft fortschreitet, oder anders ausge-
drückt, dass
„die Momente in Bezug auf alle Punkte, welche in einer und
derselben mit der Gesammtkraft parallelen Linie liegen, ein-
ander gleich sind.
Ferner
„Ist das Moment in Bezug auf irgend einen Punkt null, so ist
*) Hierbei ist das Wort „zunehmen“ in demselben allgemeinen Sinne ge-
nommen, in welchem man auch sagen kann, 8 habe um (— 3) zugenommen,
wenn 5 daraus geworden ist.
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