Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen. Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse- ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her- austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An- wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge- winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form [Formel 1] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah- lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so- fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten, als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie- denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft, die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be- ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen [], indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir [Formel 2] oder bezeichnen wir (a1 [] b1 [] .... [] s1) mit p1 und entsprechend die übrigen Summen, so haben wir [Formel 3] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver- tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1 finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi- pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des § 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen. Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse- ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her- austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An- wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge- winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form [Formel 1] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah- lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so- fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten, als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie- denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft, die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be- ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen [∔], indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir [Formel 2] oder bezeichnen wir (a1 [∔] b1 [∔] .... [∔] s1) mit p1 und entsprechend die übrigen Summen, so haben wir [Formel 3] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver- tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1 finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi- pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0107" n="71"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">§ 45</hi> Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen.</fw><lb/> Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-<lb/> halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell<lb/> verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse-<lb/> ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her-<lb/> austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An-<lb/> wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge-<lb/> winnen. 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§ 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen.
Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-
halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell
verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse-
ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her-
austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An-
wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge-
winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen
ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form
[FORMEL] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah-
lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so-
fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten,
als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie-
denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft,
die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be-
ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n
Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in
dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen ∔,
indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken
immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir
[FORMEL] oder bezeichnen wir (a1 ∔ b1 ∔ .... ∔ s1) mit p1 und entsprechend
die übrigen Summen, so haben wir
[FORMEL] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver-
tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1
finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte
aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi-
pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die
Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 71. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/107>, abgerufen am 02.09.2024. |