Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen. Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse- ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her- austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An- wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge- winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form [Formel 1] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah- lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so- fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten, als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie- denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft, die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be- ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen [], indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir [Formel 2] oder bezeichnen wir (a1 [] b1 [] .... [] s1) mit p1 und entsprechend die übrigen Summen, so haben wir [Formel 3] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver- tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1 finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi- pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des § 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen. Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse- ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her- austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An- wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge- winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form [Formel 1] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah- lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so- fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten, als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie- denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft, die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be- ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen [∔], indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir [Formel 2] oder bezeichnen wir (a1 [∔] b1 [∔] .... [∔] s1) mit p1 und entsprechend die übrigen Summen, so haben wir [Formel 3] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver- tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1 finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi- pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0107" n="71"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">§ 45</hi> Anwendung auf die Lösung algebr. 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§ 45 Anwendung auf die Lösung algebr. Gleichungen.
Zahl noch die Art ihrer Verknüpfung mit andern Grössen festge-
halten, und in dieser Hinsicht die eine als von der andern formell
verschiedenartig aufgefasst wird, auch die Anwendbarkeit der äusse-
ren Multiplikation mit einer so schlagenden Entschiedenheit her-
austritt, dass ich wohl behaupten darf, es werde durch diese An-
wendung auch die Algebra eine wesentlich veränderte Gestalt ge-
winnen. Um hiervon eine Idee zu geben, will ich n Gleichungen
ersten Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form
[FORMEL] wo x1 .... xn die Unbekannten seien. Hier können wir die Zah-
lenkoefficienten, welche verschiedenen Gleichungen angehören, so-
fern wir diese Verschiedenheit an ihrem Begriff noch festhalten,
als verschiedenartig ansehen, und zwar alle als an sich verschie-
denartig, d. h. als unabhängig in dem Sinne unserer Wissenschaft,
die einer und derselben Gleichung als unter sich in derselben Be-
ziehung gleichartig. Addiren wir nun in diesem Sinne alle n
Gleichungen und bezeichnen die Summe des Verschiedenartigen in
dem Sinne unserer Wissenschaft mit dem Verknüpfungszeichen ∔,
indem die gleichen Stellen in den so gebildeten Summenausdrücken
immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so erhalten wir
[FORMEL] oder bezeichnen wir (a1 ∔ b1 ∔ .... ∔ s1) mit p1 und entsprechend
die übrigen Summen, so haben wir
[FORMEL] Aus dieser Gleichung, welche die Stelle jener n Gleichungen ver-
tritt, lässt sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1
finden, wenn wir die beiden Seiten mit dem äusseren Produkte
aus den Koefficienten der übrigen Unbekannten äusserlich multi-
pliciren, also hier mit P2 . P3 ..... Pn. Da nämlich, wenn man die
Glieder der linken Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des
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