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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Widerstand in Biegungen.
annehmen könne, demnach den Widerstand der Summe der Sinusse aller Abprallungs-
winkel oder [Formel 1] setzen könne. Die Grösse
der einzelnen Abprallungswinkel hat du Buat nicht bestimmt, sondern bei seinen Versu-
chen sich an die Grössen von 24° 34', dann 36° und 56° 14' gehalten.

Da die Bewegung des Wassers der Biegung um so näher kommt, je kleiner die Ab-
prallungswinkel angenommen werden, so können wir allerdings annehmen, dass man bei
dieser Vorstellungsart der Wahrheit sich nähere; dabei ist aber doch zu bemerken,
dass auch der Widerstand um so grösser wird, je kleiner die Abprallungswinkel angenom-
men werden; wenn wir z. B. einen Winkel von 144° in zwei Winkel zu 72° eintheilen, so
ist 2 Sin 72° = 1,902; wird aber derselbe Winkel von 144° in 24 Theile, jeder von 6° ge-
theilt, so ist 24 Sin 6° = 2,509, also viel grösser. Hieraus folgt, dass man den Wider-
stand des Wassers in krummen Röhren ganz genau erhalten könne, wenn der Biegungs-
winkel in eine sehr grosse Anzahl Theile getheilt wird, folglich 2 Sin 1/2 w dem Linear-
masse des Winkels, oder = w gesetzt werden müsse.

Diese Betrachtung lässt sich noch durch folgende genauere Berechnung rechtfertigen.
Wir haben bereits in der Mechanik fester Körper, und wieder Seite 142 gezeigt, dass jeder
Körper, der sich nach einer krummen Linie bewegen soll, in jedem Punkte seiner Bahn eine
Fliehkraft P äussere, welche durch die Gleichung [Formel 2] ausgedrückt wird, wo Q
das Gewicht des Körpers, v seine Geschwindigkeit und r den Krümmungshalbmesser
der Bahn bezeichnet. Setzen wir die Masse oder das Gewicht eines solchen Theiles
seinem kubischen Inhalte f . m n gleich, so ist die Kraft, womit der Körper an die WandFig.
13.
Tab.
47.
der Röhre drückt [Formel 3] . Nun ist aber [Formel 4] dem Linearmasse des Winkels w.
Es ist sonach der Druck des Elementartheiles an die Röhrenwand [Formel 5] . Auf
gleiche Weise ist der Druck des folgenden Theiles [Formel 6] , jener des dritten
[Formel 7] Setzen wir w + w' + w'' .... = dem Bogen a b = W, so ist der Druck
aller Theile, die in der Biegung enthalten sind [Formel 8] . Sind auf gleiche Art in
der Röhre noch mehrere Biegungen vorhanden und werden dieselben mit W', W'' .....
bezeichnet, so ist der gesammte Druck, der in allen diesen Biegungen an die eine
oder andere Seite der Röhrenwand entsteht [Formel 9] . Wir kön-
nen demnach den Widerstand, der aus diesem Druck an die Röhrenwand entsteht, durch
den Kubikinhalt des Wassers [Formel 10] vorstellen. Zur Uiberwäl-
tigung dieses Widerstandes sey in dem Behälter die Wassersäule h' nothwendig, so wird
der Druck des Wassers gegen die Röhre = f . h' seyn. Demnach haben wir
[Formel 11] und [Formel 12] .

Widerstand in Biegungen.
annehmen könne, demnach den Widerstand der Summe der Sinusse aller Abprallungs-
winkel oder [Formel 1] setzen könne. Die Grösse
der einzelnen Abprallungswinkel hat du Buat nicht bestimmt, sondern bei seinen Versu-
chen sich an die Grössen von 24° 34′, dann 36° und 56° 14′ gehalten.

Da die Bewegung des Wassers der Biegung um so näher kommt, je kleiner die Ab-
prallungswinkel angenommen werden, so können wir allerdings annehmen, dass man bei
dieser Vorstellungsart der Wahrheit sich nähere; dabei ist aber doch zu bemerken,
dass auch der Widerstand um so grösser wird, je kleiner die Abprallungswinkel angenom-
men werden; wenn wir z. B. einen Winkel von 144° in zwei Winkel zu 72° eintheilen, so
ist 2 Sin 72° = 1,902; wird aber derselbe Winkel von 144° in 24 Theile, jeder von 6° ge-
theilt, so ist 24 Sin 6° = 2,509, also viel grösser. Hieraus folgt, dass man den Wider-
stand des Wassers in krummen Röhren ganz genau erhalten könne, wenn der Biegungs-
winkel in eine sehr grosse Anzahl Theile getheilt wird, folglich 2 Sin ½ w dem Linear-
masse des Winkels, oder = w gesetzt werden müsse.

Diese Betrachtung lässt sich noch durch folgende genauere Berechnung rechtfertigen.
Wir haben bereits in der Mechanik fester Körper, und wieder Seite 142 gezeigt, dass jeder
Körper, der sich nach einer krummen Linie bewegen soll, in jedem Punkte seiner Bahn eine
Fliehkraft P äussere, welche durch die Gleichung [Formel 2] ausgedrückt wird, wo Q
das Gewicht des Körpers, v seine Geschwindigkeit und r den Krümmungshalbmesser
der Bahn bezeichnet. Setzen wir die Masse oder das Gewicht eines solchen Theiles
seinem kubischen Inhalte f . m n gleich, so ist die Kraft, womit der Körper an die WandFig.
13.
Tab.
47.
der Röhre drückt [Formel 3] . Nun ist aber [Formel 4] dem Linearmasse des Winkels w.
Es ist sonach der Druck des Elementartheiles an die Röhrenwand [Formel 5] . Auf
gleiche Weise ist der Druck des folgenden Theiles [Formel 6] , jener des dritten
[Formel 7] Setzen wir w + w' + w'' .... = dem Bogen a b = W, so ist der Druck
aller Theile, die in der Biegung enthalten sind [Formel 8] . Sind auf gleiche Art in
der Röhre noch mehrere Biegungen vorhanden und werden dieselben mit W', W'' .....
bezeichnet, so ist der gesammte Druck, der in allen diesen Biegungen an die eine
oder andere Seite der Röhrenwand entsteht [Formel 9] . Wir kön-
nen demnach den Widerstand, der aus diesem Druck an die Röhrenwand entsteht, durch
den Kubikinhalt des Wassers [Formel 10] vorstellen. Zur Uiberwäl-
tigung dieses Widerstandes sey in dem Behälter die Wassersäule h' nothwendig, so wird
der Druck des Wassers gegen die Röhre = f . h' seyn. Demnach haben wir
[Formel 11] und [Formel 12] .

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[213/0231] Widerstand in Biegungen. annehmen könne, demnach den Widerstand der Summe der Sinusse aller Abprallungs- winkel oder [FORMEL] setzen könne. Die Grösse der einzelnen Abprallungswinkel hat du Buat nicht bestimmt, sondern bei seinen Versu- chen sich an die Grössen von 24° 34′, dann 36° und 56° 14′ gehalten. Da die Bewegung des Wassers der Biegung um so näher kommt, je kleiner die Ab- prallungswinkel angenommen werden, so können wir allerdings annehmen, dass man bei dieser Vorstellungsart der Wahrheit sich nähere; dabei ist aber doch zu bemerken, dass auch der Widerstand um so grösser wird, je kleiner die Abprallungswinkel angenom- men werden; wenn wir z. B. einen Winkel von 144° in zwei Winkel zu 72° eintheilen, so ist 2 Sin 72° = 1,902; wird aber derselbe Winkel von 144° in 24 Theile, jeder von 6° ge- theilt, so ist 24 Sin 6° = 2,509, also viel grösser. Hieraus folgt, dass man den Wider- stand des Wassers in krummen Röhren ganz genau erhalten könne, wenn der Biegungs- winkel in eine sehr grosse Anzahl Theile getheilt wird, folglich 2 Sin ½ w dem Linear- masse des Winkels, oder = w gesetzt werden müsse. Diese Betrachtung lässt sich noch durch folgende genauere Berechnung rechtfertigen. Wir haben bereits in der Mechanik fester Körper, und wieder Seite 142 gezeigt, dass jeder Körper, der sich nach einer krummen Linie bewegen soll, in jedem Punkte seiner Bahn eine Fliehkraft P äussere, welche durch die Gleichung [FORMEL] ausgedrückt wird, wo Q das Gewicht des Körpers, v seine Geschwindigkeit und r den Krümmungshalbmesser der Bahn bezeichnet. Setzen wir die Masse oder das Gewicht eines solchen Theiles seinem kubischen Inhalte f . m n gleich, so ist die Kraft, womit der Körper an die Wand der Röhre drückt [FORMEL]. Nun ist aber [FORMEL] dem Linearmasse des Winkels w. Es ist sonach der Druck des Elementartheiles an die Röhrenwand [FORMEL]. Auf gleiche Weise ist der Druck des folgenden Theiles [FORMEL], jener des dritten [FORMEL] Setzen wir w + w' + w'' .... = dem Bogen a b = W, so ist der Druck aller Theile, die in der Biegung enthalten sind [FORMEL]. Sind auf gleiche Art in der Röhre noch mehrere Biegungen vorhanden und werden dieselben mit W', W'' ..... bezeichnet, so ist der gesammte Druck, der in allen diesen Biegungen an die eine oder andere Seite der Röhrenwand entsteht [FORMEL]. Wir kön- nen demnach den Widerstand, der aus diesem Druck an die Röhrenwand entsteht, durch den Kubikinhalt des Wassers [FORMEL] vorstellen. Zur Uiberwäl- tigung dieses Widerstandes sey in dem Behälter die Wassersäule h' nothwendig, so wird der Druck des Wassers gegen die Röhre = f . h' seyn. Demnach haben wir [FORMEL] und [FORMEL]. Fig. 13. Tab. 47.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 213. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/231>, abgerufen am 06.05.2024.