Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Beispiele. aber der Behälter ganz leer werden, so wird x = 0, also die Zeit des gänzlichen Aus-flusses unendlich gross, oder der Wasserbehälter fliesst nie ganz aus. Die Ursache hier- von ist, dass bei sehr kleinen Höhen das Wasser nur in Tropfen fliessen kann, wobei aber wegen der unendlich kleinen Wasserstandshöhe die Geschwindigkeit eben so klein, folglich die Zeit des Zuflusses zur Oeffnung und jene zur völligen Entleerung des Ge- fässes unendlich gross wird. 1tes Beispiel. Ein Fischbehälter hat an seiner Oberfläche 800 Quad. Klafter Die Substituzion unserer Werthe in die obige Gleichung gibt nämlich 2tes Beispiel. Ein Teich hat eine Oberfläche von 90000 Quad. Klafter = 3240000 Die höhere Analysis *) gibt uns nach der unter dem Texte beigefügten genauen *) Es befinde sich nach der Zeit t der Wasserspiegel auf der Höhe x, so beträgt die in der Zeit d t
abfliessende Wassermenge 2/3 m . b . x . d t . 2 [Formel 2] . Die auf der Höhe x Statt findende Oberfläche des Wassers sey = y und die Höhe, um welche sich der Wasserspiegel in dem Zeitelemente d t senkt = d x, so ist auch die abgeflossene Wassermenge -- y . d x, und es muss 2/3 m . b . x . d t . 2 [Formel 3] = -- y . d x seyn. Um der schwierigen Bestimmung der Fläche y auszuweichen, wollen wir das §. 120 im 3ten Bei- spiele angewandte Verfahren als Annäherung auch hier brauchen, und voraussetzen, dass die Länge des Teiches l = 600 Klafter betrage, und nach den angestellten Lokaluntersuchungen immer um l = 40 Klafter zunehme, so oft die Wasserhöhe um a = 1 Fuss steigt. Wenn demnach die Wasserhöhe um x steigt, so wird dadurch die Länge des Teiches um [Formel 4] vergrössert, und = l [Formel 5] seyn. Setzen wir bei unserm Teiche die Oberflächen nach den verschiedenen Wasserhöhen sämmt- lich einander ähnlich, so werden sich diese Flächen, wie die Quadrate der Längen verhalten, und es wird y = F [Formel 6] seyn. Wird dieser Werth in der obigen Gleichung substituirt, so folgt d t = [Formel 7] d x. Weil nun t = 0 werden muss, wenn der Wasserstand über dem Fachbaume x = H ist, so findet man das vollständige Integrale dieser Gleichung t = [Formel 8] . Soll nun der Wasser- Beispiele. aber der Behälter ganz leer werden, so wird x = 0, also die Zeit des gänzlichen Aus-flusses unendlich gross, oder der Wasserbehälter fliesst nie ganz aus. Die Ursache hier- von ist, dass bei sehr kleinen Höhen das Wasser nur in Tropfen fliessen kann, wobei aber wegen der unendlich kleinen Wasserstandshöhe die Geschwindigkeit eben so klein, folglich die Zeit des Zuflusses zur Oeffnung und jene zur völligen Entleerung des Ge- fässes unendlich gross wird. 1tes Beispiel. Ein Fischbehälter hat an seiner Oberfläche 800 Quad. Klafter Die Substituzion unserer Werthe in die obige Gleichung gibt nämlich 2tes Beispiel. Ein Teich hat eine Oberfläche von 90000 Quad. Klafter = 3240000 Die höhere Analysis *) gibt uns nach der unter dem Texte beigefügten genauen *) Es befinde sich nach der Zeit t der Wasserspiegel auf der Höhe x, so beträgt die in der Zeit d t
abfliessende Wassermenge ⅔ m . b . x . d t . 2 [Formel 2] . Die auf der Höhe x Statt findende Oberfläche des Wassers sey = y und die Höhe, um welche sich der Wasserspiegel in dem Zeitelemente d t senkt = d x, so ist auch die abgeflossene Wassermenge — y . d x, und es muss ⅔ m . b . x . d t . 2 [Formel 3] = — y . d x seyn. Um der schwierigen Bestimmung der Fläche y auszuweichen, wollen wir das §. 120 im 3ten Bei- spiele angewandte Verfahren als Annäherung auch hier brauchen, und voraussetzen, dass die Länge des Teiches l = 600 Klafter betrage, und nach den angestellten Lokaluntersuchungen immer um λ = 40 Klafter zunehme, so oft die Wasserhöhe um α = 1 Fuss steigt. Wenn demnach die Wasserhöhe um x steigt, so wird dadurch die Länge des Teiches um [Formel 4] vergrössert, und = l [Formel 5] seyn. Setzen wir bei unserm Teiche die Oberflächen nach den verschiedenen Wasserhöhen sämmt- lich einander ähnlich, so werden sich diese Flächen, wie die Quadrate der Längen verhalten, und es wird y = F [Formel 6] seyn. Wird dieser Werth in der obigen Gleichung substituirt, so folgt d t = [Formel 7] d x. Weil nun t = 0 werden muss, wenn der Wasserstand über dem Fachbaume x = H ist, so findet man das vollständige Integrale dieser Gleichung t = [Formel 8] . Soll nun der Wasser- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0185" n="167"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Beispiele</hi>.</fw><lb/> aber der Behälter ganz leer werden, so wird x = 0, also die Zeit des gänzlichen Aus-<lb/> flusses unendlich gross, oder der Wasserbehälter fliesst nie ganz aus. 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Beispiele.
aber der Behälter ganz leer werden, so wird x = 0, also die Zeit des gänzlichen Aus-
flusses unendlich gross, oder der Wasserbehälter fliesst nie ganz aus. Die Ursache hier-
von ist, dass bei sehr kleinen Höhen das Wasser nur in Tropfen fliessen kann, wobei
aber wegen der unendlich kleinen Wasserstandshöhe die Geschwindigkeit eben so klein,
folglich die Zeit des Zuflusses zur Oeffnung und jene zur völligen Entleerung des Ge-
fässes unendlich gross wird.
1tes Beispiel. Ein Fischbehälter hat an seiner Oberfläche 800 Quad. Klafter
= 28800 Quad. Fuss = F, die Breite der rechtwinkeligen oben offenen Oeffnung oder des
Wasserablaufes sey b = 2 Fuss und die Höhe des Wasserstandes an derselben H = 4 Fuss.
Wird nun der Ablauf ganz geöffnet oder die Schütze ganz aufgezogen, so lässt sich die
Zeit, in welcher dieser Behälter bis auf h = 1 Fuss Wassertiefe leer wird, leicht be-
rechnen.
Die Substituzion unserer Werthe in die obige Gleichung gibt nämlich
t = [FORMEL] = 4334 Sek. = 1h 12Min. 14Sek.
2tes Beispiel. Ein Teich hat eine Oberfläche von 90000 Quad. Klafter = 3240000
Quad. Fuss und einen mittlern Wasserstand von 2 Fuss über den Fachbaum der Schütze;
durch einen Wolkenbruch wird dieser Wasserstand auf H = 7 Fuss erhöht, und da man
bei dieser Wasserhöhe einen Dammbruch besorgt, so werden alle Schützen ganz aufge-
zogen, um den Wasserspiegel auf seinen frühern Stand zu bringen oder um a = 5 Fuss
zu senken. Es fragt sich, in welcher Zeit t diese Wassermenge abgelaufen seyn wird,
wenn die Breite aller Schützenöffnungen zusammen b = 40 Fuss beträgt.
Die höhere Analysis *) gibt uns nach der unter dem Texte beigefügten genauen
Auflösung eine Zeit von 7h 48Min. für diesen Fall an.
*) Es befinde sich nach der Zeit t der Wasserspiegel auf der Höhe x, so beträgt die in der Zeit d t
abfliessende Wassermenge ⅔ m . b . x . d t . 2 [FORMEL]. Die auf der Höhe x Statt findende Oberfläche
des Wassers sey = y und die Höhe, um welche sich der Wasserspiegel in dem Zeitelemente d t
senkt = d x, so ist auch die abgeflossene Wassermenge — y . d x, und es muss
⅔ m . b . x . d t . 2 [FORMEL] = — y . d x seyn.
Um der schwierigen Bestimmung der Fläche y auszuweichen, wollen wir das §. 120 im 3ten Bei-
spiele angewandte Verfahren als Annäherung auch hier brauchen, und voraussetzen, dass die Länge
des Teiches l = 600 Klafter betrage, und nach den angestellten Lokaluntersuchungen immer um λ = 40
Klafter zunehme, so oft die Wasserhöhe um α = 1 Fuss steigt. Wenn demnach die Wasserhöhe
um x steigt, so wird dadurch die Länge des Teiches um [FORMEL] vergrössert, und = l [FORMEL] seyn.
Setzen wir bei unserm Teiche die Oberflächen nach den verschiedenen Wasserhöhen sämmt-
lich einander ähnlich, so werden sich diese Flächen, wie die Quadrate der Längen verhalten, und
es wird y = F [FORMEL] seyn. Wird dieser Werth in der obigen Gleichung substituirt, so folgt
d t = [FORMEL] d x.
Weil nun t = 0 werden muss, wenn der Wasserstand über dem Fachbaume x = H ist, so findet
man das vollständige Integrale dieser Gleichung
t = [FORMEL]. Soll nun der Wasser-
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