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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Beispiele.
inhalt eines abgestutzten Kegels, dessen obere Fläche F = 90000 . 36#' und die untere
f = 78400 . 36#', dann die Höhe h = 1 Fuss ist,
[Formel 1] (F + [Formel 2] + f) = 1/3 (90000 + [Formel 3] + 78400) 36 = 3028800 Kubikfuss, wel-
ches der Kubikinhalt des abzulassenden Wassers ist.

Die Beantwortung des zweiten Theiles der Frage ergibt sich, wenn wir den Kubik-
inhalt des abzulassenden Wassers mit dem Bedarf von 2 Kubikfuss in jeder Sekunde
dividiren, wodurch wir 1514400 Sekunden oder 17 Tage 12 Stunden und 40 Minuten er-
halten, nach deren Verlauf das Wasser im Teiche um 1 Fuss niedriger stehen wird.

Um den dritten Theil der Frage, wie hoch nämlich die Schütze aufgezogen werden
muss, zu beantworten, wollen wir die Breite der Schützenöffnung b = 2 Fuss und die
unbekannte Höhe dieser Oeffnung = z, die Höhe des Wasserstandes über dem Fachbaume
= h und den Zusammenziehungs-Koeffizienten m = 0,633 setzen. Die in einer Sekunde
ausfliessende Wassermenge ist M = m . b . z . 2 [Formel 4] , oder in unserm Falle, wo im An-
fange der Wasserstand h = 3 Fuss ist, 2 = 0,633 . 2 . z . 2 [Formel 5] , woraus z = 0,116 Fuss
= 1,4 Zoll folgt. Zu Ende des berechneten Ablaufes ist die Höhe des Wasserstandes
nur h = 2 Fuss, also 2 = 0,633 . 2 . z' . 2 sqrt 15,5 . 2, woraus sich z' = 0,142 Fuss = 1,7 Zoll er-
gibt. Aus dem Vergleiche beider Werthe sieht man, dass die Höhe der Schütze wäh-
rend der Zeit des Ablaufes bei 1 1/2 Zoll erhalten werden müsse.

§. 121.

Wenn sich an einem prismatischen Gefäss eine oben offene rechtwinke-
lige Oeffnung in einer vertikalen Wand befindet, so lässt sich die Zeit, in
welcher der Wasserspiegel um eine gegebene Tiefe sinkt, auf folgende
Art berechnen:

Es sey der horizontale Querschnitt des Behälters = F, die Breite der rechtwinke-
ligen Oeffnung = b, die Höhe des Wasserstandes vor dem Anfange des Ausflusses = H,
und die nach Verlauf der Zeit t noch übrige Höhe des Wasserstandes = x, so ist die
Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe H auf die Höhe x herabfällt, nach der Lehre
der höhern Analysis, t = [Formel 6] *).

Fliesst das Wasser nicht ganz aus, und es bleibt die Höhe h übrig, so ist die Zeit,
in welcher das Wasser von der Höhe H auf h herabfiel t = [Formel 11] . Soll

*) Wenn das Wasser von der Höhe H bis zur unbestimmten Höhe x ausgeflossen ist, oder die im Gefässe
noch übrige Höhe = x ist, so ist nach §. 111 die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge
= 2/3 m . b . x . 2 [Formel 7] , folglich in der Zeit d t die Wassermenge = 2/3 m . b . x . 2 [Formel 8] . d t. Da nun
in derselben Zeit d t der Wasserspiegel um die Höhe d x sinkt, folglich die im Behälter noch übrige
Wassermenge F . x um F . d x vermindert wird, so ist die erste Wassermenge der letztern gleich,
wir erhalten demnach d t = [Formel 9] . Hiervon ist mit Rücksicht, dass die Zeit t = 0
wird, wenn x = H ist, das Integral t = [Formel 10] .

Beispiele.
inhalt eines abgestutzten Kegels, dessen obere Fläche F = 90000 . 36□' und die untere
f = 78400 . 36□', dann die Höhe h = 1 Fuss ist,
[Formel 1] (F + [Formel 2] + f) = ⅓ (90000 + [Formel 3] + 78400) 36 = 3028800 Kubikfuss, wel-
ches der Kubikinhalt des abzulassenden Wassers ist.

Die Beantwortung des zweiten Theiles der Frage ergibt sich, wenn wir den Kubik-
inhalt des abzulassenden Wassers mit dem Bedarf von 2 Kubikfuss in jeder Sekunde
dividiren, wodurch wir 1514400 Sekunden oder 17 Tage 12 Stunden und 40 Minuten er-
halten, nach deren Verlauf das Wasser im Teiche um 1 Fuss niedriger stehen wird.

Um den dritten Theil der Frage, wie hoch nämlich die Schütze aufgezogen werden
muss, zu beantworten, wollen wir die Breite der Schützenöffnung b = 2 Fuss und die
unbekannte Höhe dieser Oeffnung = z, die Höhe des Wasserstandes über dem Fachbaume
= h und den Zusammenziehungs-Koeffizienten m = 0,633 setzen. Die in einer Sekunde
ausfliessende Wassermenge ist M = m . b . z . 2 [Formel 4] , oder in unserm Falle, wo im An-
fange der Wasserstand h = 3 Fuss ist, 2 = 0,633 . 2 . z . 2 [Formel 5] , woraus z = 0,116 Fuss
= 1,4 Zoll folgt. Zu Ende des berechneten Ablaufes ist die Höhe des Wasserstandes
nur h = 2 Fuss, also 2 = 0,633 . 2 . z' . 2 √ 15,5 . 2, woraus sich z' = 0,142 Fuss = 1,7 Zoll er-
gibt. Aus dem Vergleiche beider Werthe sieht man, dass die Höhe der Schütze wäh-
rend der Zeit des Ablaufes bei 1 ½ Zoll erhalten werden müsse.

§. 121.

Wenn sich an einem prismatischen Gefäss eine oben offene rechtwinke-
lige Oeffnung in einer vertikalen Wand befindet, so lässt sich die Zeit, in
welcher der Wasserspiegel um eine gegebene Tiefe sinkt, auf folgende
Art berechnen:

Es sey der horizontale Querschnitt des Behälters = F, die Breite der rechtwinke-
ligen Oeffnung = b, die Höhe des Wasserstandes vor dem Anfange des Ausflusses = H,
und die nach Verlauf der Zeit t noch übrige Höhe des Wasserstandes = x, so ist die
Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe H auf die Höhe x herabfällt, nach der Lehre
der höhern Analysis, t = [Formel 6] *).

Fliesst das Wasser nicht ganz aus, und es bleibt die Höhe h übrig, so ist die Zeit,
in welcher das Wasser von der Höhe H auf h herabfiel t = [Formel 11] . Soll

*) Wenn das Wasser von der Höhe H bis zur unbestimmten Höhe x ausgeflossen ist, oder die im Gefässe
noch übrige Höhe = x ist, so ist nach §. 111 die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge
= ⅔ m . b . x . 2 [Formel 7] , folglich in der Zeit d t die Wassermenge = ⅔ m . b . x . 2 [Formel 8] . d t. Da nun
in derselben Zeit d t der Wasserspiegel um die Höhe d x sinkt, folglich die im Behälter noch übrige
Wassermenge F . x um F . d x vermindert wird, so ist die erste Wassermenge der letztern gleich,
wir erhalten demnach d t = [Formel 9] . Hiervon ist mit Rücksicht, dass die Zeit t = 0
wird, wenn x = H ist, das Integral t = [Formel 10] .
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[166/0184] Beispiele. inhalt eines abgestutzten Kegels, dessen obere Fläche F = 90000 . 36□' und die untere f = 78400 . 36□', dann die Höhe h = 1 Fuss ist, [FORMEL] (F + [FORMEL] + f) = ⅓ (90000 + [FORMEL] + 78400) 36 = 3028800 Kubikfuss, wel- ches der Kubikinhalt des abzulassenden Wassers ist. Die Beantwortung des zweiten Theiles der Frage ergibt sich, wenn wir den Kubik- inhalt des abzulassenden Wassers mit dem Bedarf von 2 Kubikfuss in jeder Sekunde dividiren, wodurch wir 1514400 Sekunden oder 17 Tage 12 Stunden und 40 Minuten er- halten, nach deren Verlauf das Wasser im Teiche um 1 Fuss niedriger stehen wird. Um den dritten Theil der Frage, wie hoch nämlich die Schütze aufgezogen werden muss, zu beantworten, wollen wir die Breite der Schützenöffnung b = 2 Fuss und die unbekannte Höhe dieser Oeffnung = z, die Höhe des Wasserstandes über dem Fachbaume = h und den Zusammenziehungs-Koeffizienten m = 0,633 setzen. Die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge ist M = m . b . z . 2 [FORMEL], oder in unserm Falle, wo im An- fange der Wasserstand h = 3 Fuss ist, 2 = 0,633 . 2 . z . 2 [FORMEL], woraus z = 0,116 Fuss = 1,4 Zoll folgt. Zu Ende des berechneten Ablaufes ist die Höhe des Wasserstandes nur h = 2 Fuss, also 2 = 0,633 . 2 . z' . 2 √ 15,5 . 2, woraus sich z' = 0,142 Fuss = 1,7 Zoll er- gibt. Aus dem Vergleiche beider Werthe sieht man, dass die Höhe der Schütze wäh- rend der Zeit des Ablaufes bei 1 ½ Zoll erhalten werden müsse. §. 121. Wenn sich an einem prismatischen Gefäss eine oben offene rechtwinke- lige Oeffnung in einer vertikalen Wand befindet, so lässt sich die Zeit, in welcher der Wasserspiegel um eine gegebene Tiefe sinkt, auf folgende Art berechnen: Es sey der horizontale Querschnitt des Behälters = F, die Breite der rechtwinke- ligen Oeffnung = b, die Höhe des Wasserstandes vor dem Anfange des Ausflusses = H, und die nach Verlauf der Zeit t noch übrige Höhe des Wasserstandes = x, so ist die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe H auf die Höhe x herabfällt, nach der Lehre der höhern Analysis, t = [FORMEL] *). Fliesst das Wasser nicht ganz aus, und es bleibt die Höhe h übrig, so ist die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe H auf h herabfiel t = [FORMEL]. Soll *) Wenn das Wasser von der Höhe H bis zur unbestimmten Höhe x ausgeflossen ist, oder die im Gefässe noch übrige Höhe = x ist, so ist nach §. 111 die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge = ⅔ m . b . x . 2 [FORMEL], folglich in der Zeit d t die Wassermenge = ⅔ m . b . x . 2 [FORMEL] . d t. Da nun in derselben Zeit d t der Wasserspiegel um die Höhe d x sinkt, folglich die im Behälter noch übrige Wassermenge F . x um F . d x vermindert wird, so ist die erste Wassermenge der letztern gleich, wir erhalten demnach d t = [FORMEL]. Hiervon ist mit Rücksicht, dass die Zeit t = 0 wird, wenn x = H ist, das Integral t = [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 166. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/184>, abgerufen am 05.12.2024.