der algebraische Ausdruck
[Formel 1]
= Maximum oder wenn
[Formel 2]
zu einem Maximum gemacht wird.
Wäre in diesem Ausdrucke das Gewicht des Tragkorbes oder der Butte B = 0, so hätten wir, wie §. 35. für den Fall des Maximum
[Formel 3]
. Da diess jedoch hier nicht der Fall ist, und die abzuziehende Grösse
[Formel 4]
ebenfalls mit den Verhältnissen
[Formel 5]
und
[Formel 6]
multiplizirt erscheint, so ist es einleuchtend, dass der vortheilhafteste Werth für
[Formel 7]
und
[Formel 8]
auch von der abzuziehenden Grösse
[Formel 9]
abhängt, und von dem §. 35. gefundenen Werthe 1 verschieden seyn müsse. Weil sowohl
[Formel 10]
als auch
[Formel 11]
in beiden Theilen des obi- gen Ausdruckes, der ein Maximum werden soll, auf ganz gleiche Weise erscheinen, so können wir hieraus schliessen, dass das Verhältniss von v zu c und von z zu t dasselbe seyn müsse, oder dass
[Formel 12]
. Welcher Werth jedoch der Grösse
[Formel 13]
oder
[Formel 14]
zu ge- ben sey, lässt sich nur entweder durch Versuche, d. h. durch Annahme verschiedener Werthe für v und z oder durch Anwendung der Differentialrechnung finden. Die letztere lehrt uns nämlich, *) dass der obige Ausdruck ein Maximum wird, wenn
*) Nach den Grundsätzen der höheren Analysis ergibt sich dieser Werth auf folgende Art: Da in dem gefundenen Ausdrucke für p die Grössen
[Formel 15]
und
[Formel 16]
von einander unabhängig sind, so muss diese Funktion sowohl in Beziehung auf
[Formel 17]
als auch in Beziehung auf
[Formel 18]
zu einem Maximum werden. Hiezu geben die ersten abgeleiteten Funktionen oder die Differentialkoefficienten in Beziehung auf
[Formel 19]
und
[Formel 20]
folgende Gleichungen:
[Formel 21]
und
[Formel 22]
. Zieht man diese zwei Gleichungen von einander ab, so folgt:
[Formel 23]
welches bereits aus dem Umstande zu schliessen war, dass in der Funktion
[Formel 24]
die Grössen
[Formel 25]
und
[Formel 26]
auf ganz gleiche Art vorkommen. Setzen wir demnach in eine von beiden Gleichungen
[Formel 27]
an die Stelle von
[Formel 28]
, so ist:
[Formel 29]
=
[Formel 30]
beinahe, nachdem
[Formel 31]
immer ein ächter Bruch ist, und daher das Quadrat gegen die erste Potenz vernachlässigt werden kann.
7 *
Arbeiten ohne Maschinen.
der algebraische Ausdruck
[Formel 1]
= Maximum oder wenn
[Formel 2]
zu einem Maximum gemacht wird.
Wäre in diesem Ausdrucke das Gewicht des Tragkorbes oder der Butte B = 0, so hätten wir, wie §. 35. für den Fall des Maximum
[Formel 3]
. Da diess jedoch hier nicht der Fall ist, und die abzuziehende Grösse
[Formel 4]
ebenfalls mit den Verhältnissen
[Formel 5]
und
[Formel 6]
multiplizirt erscheint, so ist es einleuchtend, dass der vortheilhafteste Werth für
[Formel 7]
und
[Formel 8]
auch von der abzuziehenden Grösse
[Formel 9]
abhängt, und von dem §. 35. gefundenen Werthe 1 verschieden seyn müsse. Weil sowohl
[Formel 10]
als auch
[Formel 11]
in beiden Theilen des obi- gen Ausdruckes, der ein Maximum werden soll, auf ganz gleiche Weise erscheinen, so können wir hieraus schliessen, dass das Verhältniss von v zu c und von z zu t dasselbe seyn müsse, oder dass
[Formel 12]
. Welcher Werth jedoch der Grösse
[Formel 13]
oder
[Formel 14]
zu ge- ben sey, lässt sich nur entweder durch Versuche, d. h. durch Annahme verschiedener Werthe für v und z oder durch Anwendung der Differentialrechnung finden. Die letztere lehrt uns nämlich, *) dass der obige Ausdruck ein Maximum wird, wenn
*) Nach den Grundsätzen der höheren Analysis ergibt sich dieser Werth auf folgende Art: Da in dem gefundenen Ausdrucke für p die Grössen
[Formel 15]
und
[Formel 16]
von einander unabhängig sind, so muss diese Funktion sowohl in Beziehung auf
[Formel 17]
als auch in Beziehung auf
[Formel 18]
zu einem Maximum werden. Hiezu geben die ersten abgeleiteten Funktionen oder die Differentialkoefficienten in Beziehung auf
[Formel 19]
und
[Formel 20]
folgende Gleichungen:
[Formel 21]
und
[Formel 22]
. Zieht man diese zwei Gleichungen von einander ab, so folgt:
[Formel 23]
welches bereits aus dem Umstande zu schliessen war, dass in der Funktion
[Formel 24]
die Grössen
[Formel 25]
und
[Formel 26]
auf ganz gleiche Art vorkommen. Setzen wir demnach in eine von beiden Gleichungen
[Formel 27]
an die Stelle von
[Formel 28]
, so ist:
[Formel 29]
=
[Formel 30]
beinahe, nachdem
[Formel 31]
immer ein ächter Bruch ist, und daher das Quadrat gegen die erste Potenz vernachlässigt werden kann.
7 *
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[51/0081]
Arbeiten ohne Maschinen.
der algebraische Ausdruck [FORMEL] = Maximum oder wenn
[FORMEL] zu einem Maximum gemacht wird.
Wäre in diesem Ausdrucke das Gewicht des Tragkorbes oder der Butte B = 0, so
hätten wir, wie §. 35. für den Fall des Maximum [FORMEL]. Da diess jedoch hier
nicht der Fall ist, und die abzuziehende Grösse [FORMEL] ebenfalls mit den Verhältnissen [FORMEL] und
[FORMEL] multiplizirt erscheint, so ist es einleuchtend, dass der vortheilhafteste Werth für [FORMEL]
und [FORMEL] auch von der abzuziehenden Grösse [FORMEL] abhängt, und von dem §. 35. gefundenen
Werthe 1 verschieden seyn müsse. Weil sowohl [FORMEL] als auch [FORMEL] in beiden Theilen des obi-
gen Ausdruckes, der ein Maximum werden soll, auf ganz gleiche Weise erscheinen, so
können wir hieraus schliessen, dass das Verhältniss von v zu c und von z zu t dasselbe
seyn müsse, oder dass [FORMEL]. Welcher Werth jedoch der Grösse [FORMEL] oder [FORMEL] zu ge-
ben sey, lässt sich nur entweder durch Versuche, d. h. durch Annahme verschiedener
Werthe für v und z oder durch Anwendung der Differentialrechnung finden. Die letztere
lehrt uns nämlich, *) dass der obige Ausdruck ein Maximum wird, wenn
*) Nach den Grundsätzen der höheren Analysis ergibt sich dieser Werth auf folgende Art: Da in dem
gefundenen Ausdrucke für p die Grössen [FORMEL] und [FORMEL] von einander unabhängig sind, so muss diese
Funktion sowohl in Beziehung auf [FORMEL] als auch in Beziehung auf [FORMEL] zu einem Maximum werden.
Hiezu geben die ersten abgeleiteten Funktionen oder die Differentialkoefficienten in Beziehung auf
[FORMEL] und [FORMEL] folgende Gleichungen: [FORMEL] und
[FORMEL]. Zieht man diese zwei Gleichungen von einander ab, so folgt:
[FORMEL] welches bereits aus dem Umstande zu schliessen war, dass in der Funktion
[FORMEL] die Grössen [FORMEL] und [FORMEL]
auf ganz gleiche Art vorkommen.
Setzen wir demnach in eine von beiden Gleichungen [FORMEL] an die Stelle von [FORMEL], so ist:
[FORMEL] = [FORMEL] beinahe, nachdem [FORMEL] immer ein ächter Bruch ist, und daher das Quadrat gegen
die erste Potenz vernachlässigt werden kann.
7 *
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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 51. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/81>, abgerufen am 23.07.2024.
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