Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Rückwirkende Festigkeit der Körper. Parallelopipede, ohne sich zu biegen, erhalten können, wie dieQuerschnittsflächen, multiplicirt mit den Quadraten der schwächern Seite und dividirt mit den Quadraten der Länge, oder [Formel 1] .
[Formel 2]
. Die Ordinate y ist offenbar am grössten in B, wo Sin w = 0 und Cos w = 1 ist. Setzen wir demnach die grösste Abweichung der elastischen Linie von der senkrech-Fig. 7. Tab. 16. ten oder B E = e, so erhalten wir für den Punkt B die Gleichung [Formel 3] ; folglich, wenn die vorige Gleichung [Formel 4] mit [Formel 5] dividirt wird, ergibt sich [Formel 6] . Hieraus folgt Cos [Formel 7] . Um hieraus noch eine Gleichung zwischen den Coordinaten z und y abzuleiten, ist zu bemerken, dass in dem Dreiecke N M O sich verhalte M O : O N = d z : d y = Cos w : Sin w; hieraus folgt [Formel 8] , sonach [Formel 9] . Setzen wir nun im Nenner statt Cos w den oben gefundenen Werth Cos [Formel 10] , so erhalten wir [Formel 11] ; demnach ist [Formel 12] , folglich [Formel 13] . In dieser Gleichung können wir die Glie- der, in welchen [Formel 14] mit 1 -- Cos v multiplicirt ist, aus dem Grunde weglassen, weil hier eine Gleichung für die möglichst gerade Säule gesucht wird, folglich nicht nur y sehr klein seyn, son- dern auch der Winkel M A K = v = 0, folglich Cos v = 1 gesetzt werden muss, hiernach ergibt sich [Formel 15] . Setzen wir nun [Formel 16] = Sin l, so ist d y = e . d l. Cos l und [Formel 17] = Cos l, demnach [Formel 18] . Das Integral dieser Gleichung ist offenbar [Formel 19] . Oben war [Formel 20] , demnach ist e2 = 4 a2. Sin2 1/2 v, folglich c = 2 a . Sin 1/2 v, und da [Formel 21] ist, so erhalten wir durch die Substitution dieser Werthe Gerstners Mechanik. Band I. 47
Rückwirkende Festigkeit der Körper. Parallelopipede, ohne sich zu biegen, erhalten können, wie dieQuerschnittsflächen, multiplicirt mit den Quadraten der schwächern Seite und dividirt mit den Quadraten der Länge, oder [Formel 1] .
[Formel 2]
. Die Ordinate y ist offenbar am grössten in B, wo Sin w = 0 und Cos w = 1 ist. Setzen wir demnach die grösste Abweichung der elastischen Linie von der senkrech-Fig. 7. Tab. 16. ten oder B E = e, so erhalten wir für den Punkt B die Gleichung [Formel 3] ; folglich, wenn die vorige Gleichung [Formel 4] mit [Formel 5] dividirt wird, ergibt sich [Formel 6] . Hieraus folgt Cos [Formel 7] . Um hieraus noch eine Gleichung zwischen den Coordinaten z und y abzuleiten, ist zu bemerken, dass in dem Dreiecke N M O sich verhalte M O : O N = d z : d y = Cos w : Sin w; hieraus folgt [Formel 8] , sonach [Formel 9] . Setzen wir nun im Nenner statt Cos w den oben gefundenen Werth Cos [Formel 10] , so erhalten wir [Formel 11] ; demnach ist [Formel 12] , folglich [Formel 13] . In dieser Gleichung können wir die Glie- der, in welchen [Formel 14] mit 1 — Cos v multiplicirt ist, aus dem Grunde weglassen, weil hier eine Gleichung für die möglichst gerade Säule gesucht wird, folglich nicht nur y sehr klein seyn, son- dern auch der Winkel M A K = v = 0, folglich Cos v = 1 gesetzt werden muss, hiernach ergibt sich [Formel 15] . Setzen wir nun [Formel 16] = Sin λ, so ist d y = e . d λ. Cos λ und [Formel 17] = Cos λ, demnach [Formel 18] . Das Integral dieser Gleichung ist offenbar [Formel 19] . Oben war [Formel 20] , demnach ist e2 = 4 a2. Sin2 ½ v, folglich c = 2 a . Sin ½ v, und da [Formel 21] ist, so erhalten wir durch die Substitution dieser Werthe Gerstners Mechanik. Band I. 47
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Rückwirkende Festigkeit der Körper.
Parallelopipede, ohne sich zu biegen, erhalten können, wie die
Querschnittsflächen, multiplicirt mit den Quadraten der schwächern
Seite und dividirt mit den Quadraten der Länge, oder
[FORMEL].
*)
*) [FORMEL]. Die Ordinate y ist offenbar am grössten in B, wo Sin w = 0 und
Cos w = 1 ist. Setzen wir demnach die grösste Abweichung der elastischen Linie von der senkrech-
ten oder B E = e, so erhalten wir für den Punkt B die Gleichung [FORMEL]; folglich, wenn
die vorige Gleichung [FORMEL] mit [FORMEL] dividirt wird, ergibt sich
[FORMEL]. Hieraus folgt Cos [FORMEL].
Um hieraus noch eine Gleichung zwischen den Coordinaten z und y abzuleiten, ist zu bemerken,
dass in dem Dreiecke N M O sich verhalte M O : O N = d z : d y = Cos w : Sin w; hieraus folgt
[FORMEL], sonach [FORMEL].
Setzen wir nun im Nenner statt Cos w den oben gefundenen Werth Cos [FORMEL],
so erhalten wir [FORMEL];
demnach ist
[FORMEL], folglich
[FORMEL]. In dieser Gleichung können wir die Glie-
der, in welchen [FORMEL] mit 1 — Cos v multiplicirt ist, aus dem Grunde weglassen, weil hier eine
Gleichung für die möglichst gerade Säule gesucht wird, folglich nicht nur y sehr klein seyn, son-
dern auch der Winkel M A K = v = 0, folglich Cos v = 1 gesetzt werden muss, hiernach ergibt
sich [FORMEL].
Setzen wir nun [FORMEL] = Sin λ, so ist d y = e . d λ. Cos λ und [FORMEL] = Cos λ, demnach
[FORMEL]. Das Integral dieser Gleichung ist offenbar [FORMEL]. Oben war
[FORMEL], demnach ist e2 = 4 a2. Sin2 ½ v, folglich c = 2 a . Sin ½ v, und da
[FORMEL] ist, so erhalten wir durch die Substitution dieser Werthe
Gerstners Mechanik. Band I. 47
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 369. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/399>, abgerufen am 25.11.2024. |
