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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
daher noch die Biegung der Körper berücksichtigen. Es ist bekannt, dass lange
Stäbe oder Balken, wenn sie auch eine daraufliegende Last vollkommen zu tragen ver-
mögen, doch hiebei oft eine so grosse Biegung annehmen, dass diese in anderer Rücksicht
dem Zwecke der Maschine hinderlich wird, indem nämlich die bewegten Bestandtheile
schlottern, die Zähne und Getriebe aus dem Eingriffe kommen u. s. w. Derselbe Fall
tritt ein, wenn die Endsbäume bei einer Brücke zwar die darauf befindliche Last tra-
gen, sich jedoch in ihrer Mitte biegen, wodurch nicht bloss die Form der Bögen
verunstaltet wird, sondern auch ein lebhafter Verkehr über die Brücke nicht statt fin-
den kann.

Wir haben bereits oben §. 283 erwiesen, dass bei dem Bruche zweier gleicharti-Fig.
22.
Tab.
15.

ger prismatischer Körper, die statischen Momente der an ihren Endpunkten ange-
hängten Gewichte L . Q : l . q sich wie B . H2 : b . h2 verhalten. Im §. 284 wurde
gezeigt, dass dieselbe Gleichheit der Verhältnisse auch statt finde, wenn die Aus-
dehnungen A o, a e an der Oberfläche der Balken A G', a g' auch ausser dem Zustan-
de des Bruches einander gleich (A o = a e), folglich die Spannkräfte dieser Ober-
flächen ebenfalls einander gleich sind. Wenn aber der erste Körper an seiner Oberfläche
mehr ausgedehnt oder die Länge A G' mehr gespannt wird, als die Länge a g' des
zweiten oder A o' grösser als a e ist, so werden auch die hiezu erforderlichen Spann-
kräfte sich verhalten, wie [Formel 1] , oder wenn wir die Ausdehnung des ersten
A o' = E und die Länge o' G' = C G = L, und eben so die Ausdehnung des zwei-
ten a e = e, und die Länge e g' = c g = l setzen, so ergibt sich von selbst, dass
wir zur Berechnung der Biegungsmomente zu dem Verhältnisse B . H2 : b . h2
noch das Verhältniss [Formel 2] beifügen müssen. Wir erhalten demnach
Q . L : q . l = B . H2 . [Formel 3] : b . h2 . [Formel 4] . Nun gibt aber die Aehnlichkeit der Dreiecke
A o' C und C G O die Proportion A o' : A C = C O : C G oder [Formel 5] = C O : L,
folglich, wenn wir die Tiefe C O oder den sogenannten Pfeil des Bogens C G = U
setzen, erhalten wir [Formel 6] . Auf gleiche Art ist für den zweiten Körper [Formel 7] .

Setzen wir nun diese Werthe an die Stelle von E und e in die obige Propor-
tion, so erhalten wir [Formel 8] , folglich
[Formel 9] , d. h. die Lasten Q, q, welche an den Endpunkten
zweier elastischer Stäbe angehängt werden können, verhalten sich wie die Produkte aus
den hiedurch bewirkten Senkungen oder Pfeilen U, u in die Breiten der Balken B, b, und
in die Würfel der Verhältnisse der Höhe zur Länge [Formel 10] , und [Formel 11] . Umgekehrt folgt
hieraus die allgemeine Regel, dass die Biegungen (Pfeile) zweier gleich-
artiger Balken den Produkten aus den aufgelegten Gewichten in

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Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
daher noch die Biegung der Körper berücksichtigen. Es ist bekannt, dass lange
Stäbe oder Balken, wenn sie auch eine daraufliegende Last vollkommen zu tragen ver-
mögen, doch hiebei oft eine so grosse Biegung annehmen, dass diese in anderer Rücksicht
dem Zwecke der Maschine hinderlich wird, indem nämlich die bewegten Bestandtheile
schlottern, die Zähne und Getriebe aus dem Eingriffe kommen u. s. w. Derselbe Fall
tritt ein, wenn die Endsbäume bei einer Brücke zwar die darauf befindliche Last tra-
gen, sich jedoch in ihrer Mitte biegen, wodurch nicht bloss die Form der Bögen
verunstaltet wird, sondern auch ein lebhafter Verkehr über die Brücke nicht statt fin-
den kann.

Wir haben bereits oben §. 283 erwiesen, dass bei dem Bruche zweier gleicharti-Fig.
22.
Tab.
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ger prismatischer Körper, die statischen Momente der an ihren Endpunkten ange-
hängten Gewichte L . Q : l . q sich wie B . H2 : b . h2 verhalten. Im §. 284 wurde
gezeigt, dass dieselbe Gleichheit der Verhältnisse auch statt finde, wenn die Aus-
dehnungen A o, a e an der Oberfläche der Balken A G', a g' auch ausser dem Zustan-
de des Bruches einander gleich (A o = a e), folglich die Spannkräfte dieser Ober-
flächen ebenfalls einander gleich sind. Wenn aber der erste Körper an seiner Oberfläche
mehr ausgedehnt oder die Länge A G' mehr gespannt wird, als die Länge a g' des
zweiten oder A o' grösser als a e ist, so werden auch die hiezu erforderlichen Spann-
kräfte sich verhalten, wie [Formel 1] , oder wenn wir die Ausdehnung des ersten
A o' = E und die Länge o' G' = C G = L, und eben so die Ausdehnung des zwei-
ten a e = e, und die Länge e g' = c g = l setzen, so ergibt sich von selbst, dass
wir zur Berechnung der Biegungsmomente zu dem Verhältnisse B . H2 : b . h2
noch das Verhältniss [Formel 2] beifügen müssen. Wir erhalten demnach
Q . L : q . l = B . H2 . [Formel 3] : b . h2 . [Formel 4] . Nun gibt aber die Aehnlichkeit der Dreiecke
A o' C und C G O die Proportion A o' : A C = C O : C G oder [Formel 5] = C O : L,
folglich, wenn wir die Tiefe C O oder den sogenannten Pfeil des Bogens C G = U
setzen, erhalten wir [Formel 6] . Auf gleiche Art ist für den zweiten Körper [Formel 7] .

Setzen wir nun diese Werthe an die Stelle von E und e in die obige Propor-
tion, so erhalten wir [Formel 8] , folglich
[Formel 9] , d. h. die Lasten Q, q, welche an den Endpunkten
zweier elastischer Stäbe angehängt werden können, verhalten sich wie die Produkte aus
den hiedurch bewirkten Senkungen oder Pfeilen U, u in die Breiten der Balken B, b, und
in die Würfel der Verhältnisse der Höhe zur Länge [Formel 10] , und [Formel 11] . Umgekehrt folgt
hieraus die allgemeine Regel, dass die Biegungen (Pfeile) zweier gleich-
artiger Balken den Produkten aus den aufgelegten Gewichten in

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[323/0353] Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung. daher noch die Biegung der Körper berücksichtigen. Es ist bekannt, dass lange Stäbe oder Balken, wenn sie auch eine daraufliegende Last vollkommen zu tragen ver- mögen, doch hiebei oft eine so grosse Biegung annehmen, dass diese in anderer Rücksicht dem Zwecke der Maschine hinderlich wird, indem nämlich die bewegten Bestandtheile schlottern, die Zähne und Getriebe aus dem Eingriffe kommen u. s. w. Derselbe Fall tritt ein, wenn die Endsbäume bei einer Brücke zwar die darauf befindliche Last tra- gen, sich jedoch in ihrer Mitte biegen, wodurch nicht bloss die Form der Bögen verunstaltet wird, sondern auch ein lebhafter Verkehr über die Brücke nicht statt fin- den kann. Wir haben bereits oben §. 283 erwiesen, dass bei dem Bruche zweier gleicharti- ger prismatischer Körper, die statischen Momente der an ihren Endpunkten ange- hängten Gewichte L . Q : l . q sich wie B . H2 : b . h2 verhalten. Im §. 284 wurde gezeigt, dass dieselbe Gleichheit der Verhältnisse auch statt finde, wenn die Aus- dehnungen A o, a e an der Oberfläche der Balken A G', a g' auch ausser dem Zustan- de des Bruches einander gleich (A o = a e), folglich die Spannkräfte dieser Ober- flächen ebenfalls einander gleich sind. Wenn aber der erste Körper an seiner Oberfläche mehr ausgedehnt oder die Länge A G' mehr gespannt wird, als die Länge a g' des zweiten oder A o' grösser als a e ist, so werden auch die hiezu erforderlichen Spann- kräfte sich verhalten, wie [FORMEL], oder wenn wir die Ausdehnung des ersten A o' = E und die Länge o' G' = C G = L, und eben so die Ausdehnung des zwei- ten a e = e, und die Länge e g' = c g = l setzen, so ergibt sich von selbst, dass wir zur Berechnung der Biegungsmomente zu dem Verhältnisse B . H2 : b . h2 noch das Verhältniss [FORMEL] beifügen müssen. Wir erhalten demnach Q . L : q . l = B . H2 . [FORMEL] : b . h2 . [FORMEL]. Nun gibt aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A o' C und C G O die Proportion A o' : A C = C O : C G oder [FORMEL] = C O : L, folglich, wenn wir die Tiefe C O oder den sogenannten Pfeil des Bogens C G = U setzen, erhalten wir [FORMEL]. Auf gleiche Art ist für den zweiten Körper [FORMEL]. Fig. 22. Tab. 15. Setzen wir nun diese Werthe an die Stelle von E und e in die obige Propor- tion, so erhalten wir [FORMEL], folglich [FORMEL], d. h. die Lasten Q, q, welche an den Endpunkten zweier elastischer Stäbe angehängt werden können, verhalten sich wie die Produkte aus den hiedurch bewirkten Senkungen oder Pfeilen U, u in die Breiten der Balken B, b, und in die Würfel der Verhältnisse der Höhe zur Länge [FORMEL], und [FORMEL]. Umgekehrt folgt hieraus die allgemeine Regel, dass die Biegungen (Pfeile) zweier gleich- artiger Balken den Produkten aus den aufgelegten Gewichten in 41 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 323. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/353>, abgerufen am 31.07.2021.