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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.
Nehmen wir ferner nach den Versuchen für den Bruch bei Gusseisen S. 304 den Coeffi-
cienten m in runder Zahl = 4000, oder, weil die Zapfen die Last mit Sicherheit und oh-
ne sich zu biegen tragen sollen, m = [Formel 1] , so erhalten wir
[Formel 2] Zoll.

Uibrigens ist hier noch zu bemerken, dass diese Rechnung nur für den Fall gül-
tig ist, wenn die an der Maschine wirkende Kraft (K) keinen Druck auf die Zapfen
ausübt; wäre diess jedoch der Fall, so muss P = Q + G + K gesetzt, und für die-
sen Werth die Rechnung durchgeführt werden.

§. 309.

Um das Tragungsvermögen eines abgestutzten Kegels zu finden,Fig.
15.
Tab.
15.
wenn er an seinem dickern Ende eingemauert und an dem dünnern
belastet ist, wollen wir den grössern Durchmesser A C = D, den kleinern B D = d
und seine Länge A B = 1 setzen.

Der Querschnitt, in welchem der konische Körper durch eine in B angehängte Last
Q bricht, sey m n, der Durchmesser desselben m n = y und die Entfernung von der
Last Q, nämlich o p = x. Die Gleichung für das Gleichgewicht im Augenblicke des
Bruches ist daher, wie für einen Cylinder Q. x = 33/56. m. y3 oder Q = 33/56. m. [Formel 3] .

Ergänzen wir die Pyramide A B D C bis zu ihrer Spitze q und setzen die Länge
p q = c, so ist [Formel 4] und [Formel 5] d, mithin auch
[Formel 6] . Der Balken bricht offenbar dort, wo die kleinste Last Q
erfordert wird; es muss also der veränderliche Faktor [Formel 7] zu einem Minimum wer-
den *). Dieses findet statt, wen x = [Formel 10] genommen wird. Ein konischer Kör-
per wird sonach durch eine Last Q in jenem Querschnitte gebro-
chen, der von dem Aufhängungspunkte des Gewichtes halb so weit
absteht, als die Spitze des Kegels von demselben Aufhängungs-
punkte entfernt ist, und das Tragungsvermögen eines solchen Balkens ist daher
[Formel 11] .

Eine praktische Bestätigung der vorhergehenden Rechnung ergibt sich bei demFig
16.
Windbruche der Bäume. Man kann offenbar die Kraft des Windes auf der Ober-

*) Setzt man in der Funktion [Formel 8] den Differenzialcoeffizienten 3 x (c + x)2 -- (c + x)2 = 0, so
gibt diess 3 x -- (c + x) = 0 oder [Formel 9] als denjenigen Werth von x, für welchen der obige
Ausdruck ein Minimum wird.

Relative Festigkeit der Körper.
Nehmen wir ferner nach den Versuchen für den Bruch bei Gusseisen S. 304 den Coeffi-
cienten m in runder Zahl = 4000, oder, weil die Zapfen die Last mit Sicherheit und oh-
ne sich zu biegen tragen sollen, m = [Formel 1] , so erhalten wir
[Formel 2] Zoll.

Uibrigens ist hier noch zu bemerken, dass diese Rechnung nur für den Fall gül-
tig ist, wenn die an der Maschine wirkende Kraft (K) keinen Druck auf die Zapfen
ausübt; wäre diess jedoch der Fall, so muss P = Q + G + K gesetzt, und für die-
sen Werth die Rechnung durchgeführt werden.

§. 309.

Um das Tragungsvermögen eines abgestutzten Kegels zu finden,Fig.
15.
Tab.
15.
wenn er an seinem dickern Ende eingemauert und an dem dünnern
belastet ist, wollen wir den grössern Durchmesser A C = D, den kleinern B D = d
und seine Länge A B = 1 setzen.

Der Querschnitt, in welchem der konische Körper durch eine in B angehängte Last
Q bricht, sey m n, der Durchmesser desselben m n = y und die Entfernung von der
Last Q, nämlich o p = x. Die Gleichung für das Gleichgewicht im Augenblicke des
Bruches ist daher, wie für einen Cylinder Q. x = 33/56. m. y3 oder Q = 33/56. m. [Formel 3] .

Ergänzen wir die Pyramide A B D C bis zu ihrer Spitze q und setzen die Länge
p q = c, so ist [Formel 4] und [Formel 5] d, mithin auch
[Formel 6] . Der Balken bricht offenbar dort, wo die kleinste Last Q
erfordert wird; es muss also der veränderliche Faktor [Formel 7] zu einem Minimum wer-
den *). Dieses findet statt, wen x = [Formel 10] genommen wird. Ein konischer Kör-
per wird sonach durch eine Last Q in jenem Querschnitte gebro-
chen, der von dem Aufhängungspunkte des Gewichtes halb so weit
absteht, als die Spitze des Kegels von demselben Aufhängungs-
punkte entfernt ist, und das Tragungsvermögen eines solchen Balkens ist daher
[Formel 11] .

Eine praktische Bestätigung der vorhergehenden Rechnung ergibt sich bei demFig
16.
Windbruche der Bäume. Man kann offenbar die Kraft des Windes auf der Ober-

*) Setzt man in der Funktion [Formel 8] den Differenzialcoeffizienten 3 x (c + x)2 — (c + x)2 = 0, so
gibt diess 3 x — (c + x) = 0 oder [Formel 9] als denjenigen Werth von x, für welchen der obige
Ausdruck ein Minimum wird.
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[319/0349] Relative Festigkeit der Körper. Nehmen wir ferner nach den Versuchen für den Bruch bei Gusseisen S. 304 den Coeffi- cienten m in runder Zahl = 4000, oder, weil die Zapfen die Last mit Sicherheit und oh- ne sich zu biegen tragen sollen, m = [FORMEL], so erhalten wir [FORMEL] Zoll. Uibrigens ist hier noch zu bemerken, dass diese Rechnung nur für den Fall gül- tig ist, wenn die an der Maschine wirkende Kraft (K) keinen Druck auf die Zapfen ausübt; wäre diess jedoch der Fall, so muss P = Q + G + K gesetzt, und für die- sen Werth die Rechnung durchgeführt werden. §. 309. Um das Tragungsvermögen eines abgestutzten Kegels zu finden, wenn er an seinem dickern Ende eingemauert und an dem dünnern belastet ist, wollen wir den grössern Durchmesser A C = D, den kleinern B D = d und seine Länge A B = 1 setzen. Fig. 15. Tab. 15. Der Querschnitt, in welchem der konische Körper durch eine in B angehängte Last Q bricht, sey m n, der Durchmesser desselben m n = y und die Entfernung von der Last Q, nämlich o p = x. Die Gleichung für das Gleichgewicht im Augenblicke des Bruches ist daher, wie für einen Cylinder Q. x = 33/56. m. y3 oder Q = 33/56. m. [FORMEL]. Ergänzen wir die Pyramide A B D C bis zu ihrer Spitze q und setzen die Länge p q = c, so ist [FORMEL] und [FORMEL] d, mithin auch [FORMEL]. Der Balken bricht offenbar dort, wo die kleinste Last Q erfordert wird; es muss also der veränderliche Faktor [FORMEL] zu einem Minimum wer- den *). Dieses findet statt, wen x = [FORMEL] genommen wird. Ein konischer Kör- per wird sonach durch eine Last Q in jenem Querschnitte gebro- chen, der von dem Aufhängungspunkte des Gewichtes halb so weit absteht, als die Spitze des Kegels von demselben Aufhängungs- punkte entfernt ist, und das Tragungsvermögen eines solchen Balkens ist daher [FORMEL]. Eine praktische Bestätigung der vorhergehenden Rechnung ergibt sich bei dem Windbruche der Bäume. Man kann offenbar die Kraft des Windes auf der Ober- Fig 16. *) Setzt man in der Funktion [FORMEL] den Differenzialcoeffizienten 3 x (c + x)2 — (c + x)2 = 0, so gibt diess 3 x — (c + x) = 0 oder [FORMEL] als denjenigen Werth von x, für welchen der obige Ausdruck ein Minimum wird.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 319. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/349>, abgerufen am 23.11.2024.