Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Relative Festigkeit der Körper.
für jeden Werth von x offenbar = 0, also D2 -- 3 B2 = 0 seyn. Diess gib [Formel 1] Fig.
4.
Tab.
15.
für jeden Werth von x, also auch für x = 0, oder für den Fall des Maximum von A;
und weil nun H2 = D2 -- B2 = D2 -- [Formel 2] ist, so ist auch [Formel 3]
also B : H = 1 : sqrt 2 = 1 : 1,4142 ... oder sehr nahe B : H = 10 : 14 = 5 : 7, d. h.
ein aus einem runden Stamme gezimmerter Balken ist am stärksten,
wenn sich die Breite zur Höhe, wie 5 zu 7 verhält.

Für diesen Fall gibt die Gleichung B2 = [Formel 4] die Proportion [Formel 5] : B = B : D
und die Gleichung H2 = 2/3 D2 die Proportion 2/3 D : H = H : D.

Wenn man daher Fig. 4 auf der Durchschnittsfläche des Stammes einen Kreis be-
schreibt, den Durchmesser O P in drei gleiche Theile theilt, mittelst eines Winkelha-
kens aus den Punkten Q und R die Senkrechten Q N und R M zieht, bis sie die Pe-
ripherie in N und M schneiden, und die Durchschnittspunkte N und M mit den
Endpunkten des Durchmessers O und P durch gerade Linien verbindet, so ist M O N P
der Querschnitt des stärksten Balkens; denn es ist
O Q : O N = O N : O P oder [Formel 6] : B = B : D, ferner
P Q : N P = N P : O P oder 2/3 D : H = H : D, wie es nach dem Obigen seyn
muss. Das Produkt H2. B wird in diesem Falle = 2/3 . D2. D. sqrt 1/3 = 0,3849. D3, welches
das Maximum ist.

Dass ein Balken, welcher nach der eben angeführten Theilung aus einem runden
Stamme gezimmert wird, das grösste Tragungsvermögen besitze, ergibt sich auch noch,
wenn man die Verzeichnung desselben auf eine andere Art vornimmt.

Wir wollen zuerst den Durchmesser des Stammes in zwei gleiche HälftenFig.
5.
O R = R P = [Formel 7] zertheilen, so ist die Höhe des Balkens eben so gross als seine
Breite, oder P N = N O = H = B = [Formel 8] = D sqrt 1/2 = 0,707 D, folglich
das Produkt B. H2 = 0,707 D. D sqrt 1/2. D sqrt 1/2 = 0,3535 D3.

Theilt man dagegen den Durchmesser eines Stammes O P in 4 Theile, errichtetFig.
6.
im 1ten und 3ten Viertel die Senkrechten Q N und R M, verbindet die vier Punkte
M, O, N und P mit einander, so ist M O N P der Querschnitt des Balkens, wobei
P N = H die Höhe, und N O = B die Breite desselben vorstellt.
Nun verhält sich O Q : O N = O N : O P oder [Formel 9] : B = B : D, woraus B = D sqrt 1/4 = [Formel 10]
Ferner P Q : P N = P N : P O oder 3/4D : H = H : D, woraus H = D sqrt 3/4 = 0,866 D
Es wird daher das Produkt B. H2 = [Formel 11] . D2. 3/4 = 0,3750 D3.

Wir sehen, dass in diesen beiden Fällen die Produkte B. H2 = 0,3535 D5 und
B. H2 = 0,3750 D3 wirklich kleiner als das oben berechnete B. H2 = 0,3849 D3 sey; es ist

Relative Festigkeit der Körper.
für jeden Werth von x offenbar = 0, also D2 — 3 B2 = 0 seyn. Diess gib [Formel 1] Fig.
4.
Tab.
15.
für jeden Werth von x, also auch für x = 0, oder für den Fall des Maximum von A;
und weil nun H2 = D2 — B2 = D2 — [Formel 2] ist, so ist auch [Formel 3]
also B : H = 1 : √ 2 = 1 : 1,4142 … oder sehr nahe B : H = 10 : 14 = 5 : 7, d. h.
ein aus einem runden Stamme gezimmerter Balken ist am stärksten,
wenn sich die Breite zur Höhe, wie 5 zu 7 verhält.

Für diesen Fall gibt die Gleichung B2 = [Formel 4] die Proportion [Formel 5] : B = B : D
und die Gleichung H2 = ⅔D2 die Proportion ⅔D : H = H : D.

Wenn man daher Fig. 4 auf der Durchschnittsfläche des Stammes einen Kreis be-
schreibt, den Durchmesser O P in drei gleiche Theile theilt, mittelst eines Winkelha-
kens aus den Punkten Q und R die Senkrechten Q N und R M zieht, bis sie die Pe-
ripherie in N und M schneiden, und die Durchschnittspunkte N und M mit den
Endpunkten des Durchmessers O und P durch gerade Linien verbindet, so ist M O N P
der Querschnitt des stärksten Balkens; denn es ist
O Q : O N = O N : O P oder [Formel 6] : B = B : D, ferner
P Q : N P = N P : O P oder ⅔D : H = H : D, wie es nach dem Obigen seyn
muss. Das Produkt H2. B wird in diesem Falle = ⅔. D2. D. √ ⅓ = 0,3849. D3, welches
das Maximum ist.

Dass ein Balken, welcher nach der eben angeführten Theilung aus einem runden
Stamme gezimmert wird, das grösste Tragungsvermögen besitze, ergibt sich auch noch,
wenn man die Verzeichnung desselben auf eine andere Art vornimmt.

Wir wollen zuerst den Durchmesser des Stammes in zwei gleiche HälftenFig.
5.
O R = R P = [Formel 7] zertheilen, so ist die Höhe des Balkens eben so gross als seine
Breite, oder P N = N O = H = B = [Formel 8] = D √ ½ = 0,707 D, folglich
das Produkt B. H2 = 0,707 D. D √ ½. D √ ½ = 0,3535 D3.

Theilt man dagegen den Durchmesser eines Stammes O P in 4 Theile, errichtetFig.
6.
im 1ten und 3ten Viertel die Senkrechten Q N und R M, verbindet die vier Punkte
M, O, N und P mit einander, so ist M O N P der Querschnitt des Balkens, wobei
P N = H die Höhe, und N O = B die Breite desselben vorstellt.
Nun verhält sich O Q : O N = O N : O P oder [Formel 9] : B = B : D, woraus B = D √ ¼ = [Formel 10]
Ferner P Q : P N = P N : P O oder ¾D : H = H : D, woraus H = D √ ¾ = 0,866 D
Es wird daher das Produkt B. H2 = [Formel 11] . D2. ¾ = 0,3750 D3.

Wir sehen, dass in diesen beiden Fällen die Produkte B. H2 = 0,3535 D5 und
B. H2 = 0,3750 D3 wirklich kleiner als das oben berechnete B. H2 = 0,3849 D3 sey; es ist

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <div n="4">
              <p><pb facs="#f0339" n="309"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Relative Festigkeit der Körper.</hi></fw><lb/>
für jeden Werth von x offenbar = 0, also D<hi rendition="#sup">2</hi> &#x2014; 3 B<hi rendition="#sup">2</hi> = 0 seyn. Diess gib <formula/><note place="right">Fig.<lb/>
4.<lb/>
Tab.<lb/>
15.</note><lb/>
für jeden Werth von x, also auch für x = 0, oder für den Fall des Maximum von A;<lb/>
und weil nun H<hi rendition="#sup">2</hi> = D<hi rendition="#sup">2</hi> &#x2014; B<hi rendition="#sup">2</hi> = D<hi rendition="#sup">2</hi> &#x2014; <formula/> ist, so ist auch <formula/><lb/>
also B : H = 1 : &#x221A; 2 = 1 : 1,<hi rendition="#sub">4142</hi> &#x2026; oder sehr nahe B : H = 10 : 14 = 5 : 7, d. h.<lb/><hi rendition="#g">ein aus einem runden Stamme gezimmerter Balken ist am stärksten,<lb/>
wenn sich die Breite zur Höhe, wie 5 zu 7 verhält</hi>.</p><lb/>
              <p>Für diesen Fall gibt die Gleichung B<hi rendition="#sup">2</hi> = <formula/> die Proportion <formula/> : B = B : D<lb/><hi rendition="#et">und die Gleichung H<hi rendition="#sup">2</hi> = &#x2154;D<hi rendition="#sup">2</hi> die Proportion &#x2154;D : H = H : D.</hi></p><lb/>
              <p>Wenn man daher Fig. 4 auf der Durchschnittsfläche des Stammes einen Kreis be-<lb/>
schreibt, den Durchmesser O P in drei gleiche Theile theilt, mittelst eines Winkelha-<lb/>
kens aus den Punkten Q und R die Senkrechten Q N und R M zieht, bis sie die Pe-<lb/>
ripherie in N und M schneiden, und die Durchschnittspunkte N und M mit den<lb/>
Endpunkten des Durchmessers O und P durch gerade Linien verbindet, so ist M O N P<lb/>
der Querschnitt des stärksten Balkens; denn es ist<lb/><hi rendition="#et">O Q : O N = O N : O P oder <formula/> : B = B : D, ferner<lb/>
P Q : N P = N P : O P oder &#x2154;D : H = H : D, wie es nach dem Obigen seyn</hi><lb/>
muss. Das Produkt H<hi rendition="#sup">2</hi>. B wird in diesem Falle = &#x2154;. D<hi rendition="#sup">2</hi>. D. &#x221A; &#x2153; = 0,<hi rendition="#sub">3849</hi>. D<hi rendition="#sup">3</hi>, welches<lb/>
das Maximum ist.</p><lb/>
              <p>Dass ein Balken, welcher nach der eben angeführten Theilung aus einem runden<lb/>
Stamme gezimmert wird, das grösste Tragungsvermögen besitze, ergibt sich auch noch,<lb/>
wenn man die Verzeichnung desselben auf eine andere Art vornimmt.</p><lb/>
              <p>Wir wollen zuerst den Durchmesser des Stammes in zwei gleiche Hälften<note place="right">Fig.<lb/>
5.</note><lb/>
O R = R P = <formula/> zertheilen, so ist die Höhe des Balkens eben so gross als seine<lb/>
Breite, oder P N = N O = H = B = <formula/> = D &#x221A; ½ = 0,<hi rendition="#sub">707</hi> D, folglich<lb/>
das Produkt B. H<hi rendition="#sup">2</hi> = 0,<hi rendition="#sub">707</hi> D. D &#x221A; ½. D &#x221A; ½ = 0,<hi rendition="#sub">3535</hi> D<hi rendition="#sup">3</hi>.</p><lb/>
              <p>Theilt man dagegen den Durchmesser eines Stammes O P in 4 Theile, errichtet<note place="right">Fig.<lb/>
6.</note><lb/>
im 1<hi rendition="#sup">ten</hi> und 3<hi rendition="#sup">ten</hi> Viertel die Senkrechten Q N und R M, verbindet die vier Punkte<lb/>
M, O, N und P mit einander, so ist M O N P der Querschnitt des Balkens, wobei<lb/>
P N = H die Höhe, und N O = B die Breite desselben vorstellt.<lb/>
Nun verhält sich O Q : O N = O N : O P oder <formula/> : B = B : D, woraus B = D &#x221A; ¼ = <formula/><lb/><hi rendition="#et">Ferner P Q : P N = P N : P O oder ¾D : H = H : D, woraus H = D &#x221A; ¾ = 0,<hi rendition="#sub">866</hi> D</hi><lb/>
Es wird daher das Produkt B. H<hi rendition="#sup">2</hi> = <formula/>. D<hi rendition="#sup">2</hi>. ¾ = 0,<hi rendition="#sub">3750</hi> D<hi rendition="#sup">3</hi>.</p><lb/>
              <p>Wir sehen, dass in diesen beiden Fällen die Produkte B. H<hi rendition="#sup">2</hi> = 0,<hi rendition="#sub">3535</hi> D<hi rendition="#sup">5</hi> und<lb/>
B. H<hi rendition="#sup">2</hi> = 0,<hi rendition="#sub">3750</hi> D<hi rendition="#sup">3</hi> wirklich kleiner als das oben berechnete B. H<hi rendition="#sup">2</hi> = 0,<hi rendition="#sub">3849</hi> D<hi rendition="#sup">3</hi> sey; es ist<lb/></p>
            </div>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[309/0339] Relative Festigkeit der Körper. für jeden Werth von x offenbar = 0, also D2 — 3 B2 = 0 seyn. Diess gib [FORMEL] für jeden Werth von x, also auch für x = 0, oder für den Fall des Maximum von A; und weil nun H2 = D2 — B2 = D2 — [FORMEL] ist, so ist auch [FORMEL] also B : H = 1 : √ 2 = 1 : 1,4142 … oder sehr nahe B : H = 10 : 14 = 5 : 7, d. h. ein aus einem runden Stamme gezimmerter Balken ist am stärksten, wenn sich die Breite zur Höhe, wie 5 zu 7 verhält. Fig. 4. Tab. 15. Für diesen Fall gibt die Gleichung B2 = [FORMEL] die Proportion [FORMEL] : B = B : D und die Gleichung H2 = ⅔D2 die Proportion ⅔D : H = H : D. Wenn man daher Fig. 4 auf der Durchschnittsfläche des Stammes einen Kreis be- schreibt, den Durchmesser O P in drei gleiche Theile theilt, mittelst eines Winkelha- kens aus den Punkten Q und R die Senkrechten Q N und R M zieht, bis sie die Pe- ripherie in N und M schneiden, und die Durchschnittspunkte N und M mit den Endpunkten des Durchmessers O und P durch gerade Linien verbindet, so ist M O N P der Querschnitt des stärksten Balkens; denn es ist O Q : O N = O N : O P oder [FORMEL] : B = B : D, ferner P Q : N P = N P : O P oder ⅔D : H = H : D, wie es nach dem Obigen seyn muss. Das Produkt H2. B wird in diesem Falle = ⅔. D2. D. √ ⅓ = 0,3849. D3, welches das Maximum ist. Dass ein Balken, welcher nach der eben angeführten Theilung aus einem runden Stamme gezimmert wird, das grösste Tragungsvermögen besitze, ergibt sich auch noch, wenn man die Verzeichnung desselben auf eine andere Art vornimmt. Wir wollen zuerst den Durchmesser des Stammes in zwei gleiche Hälften O R = R P = [FORMEL] zertheilen, so ist die Höhe des Balkens eben so gross als seine Breite, oder P N = N O = H = B = [FORMEL] = D √ ½ = 0,707 D, folglich das Produkt B. H2 = 0,707 D. D √ ½. D √ ½ = 0,3535 D3. Fig. 5. Theilt man dagegen den Durchmesser eines Stammes O P in 4 Theile, errichtet im 1ten und 3ten Viertel die Senkrechten Q N und R M, verbindet die vier Punkte M, O, N und P mit einander, so ist M O N P der Querschnitt des Balkens, wobei P N = H die Höhe, und N O = B die Breite desselben vorstellt. Nun verhält sich O Q : O N = O N : O P oder [FORMEL] : B = B : D, woraus B = D √ ¼ = [FORMEL] Ferner P Q : P N = P N : P O oder ¾D : H = H : D, woraus H = D √ ¾ = 0,866 D Es wird daher das Produkt B. H2 = [FORMEL]. D2. ¾ = 0,3750 D3. Fig. 6. Wir sehen, dass in diesen beiden Fällen die Produkte B. H2 = 0,3535 D5 und B. H2 = 0,3750 D3 wirklich kleiner als das oben berechnete B. H2 = 0,3849 D3 sey; es ist

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/339
Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 309. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/339>, abgerufen am 28.11.2024.