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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) in eine Proportion gebracht, gebenFig.
12.
Tab.
14.
S . [Formel 1] : s . [Formel 2] = X . L : x . l oder
S : s = [Formel 3] ...... (VI).

Aus dem Vergleiche der Proportionen (I) und (VI) folgt
[Formel 4] = B . H : b . h oder
X : x = [Formel 5] d. h. die Gewichtstheile X und x, welche
mit den Cohaesionskräften der einzelnen gleichnamigen Bänder im
Gleichgewichte stehen, haben das constante Verhältniss [Formel 6] .
Setzen wir nun, auf dieses gestützt, für das 1te, 2te, 3te .... nte Band die zur
Spannung und zum Gleichgewichte nöthigen Gewichtstheile für den Balken
A B = X 1, X 2, X 3 ..... X n, und eben so für den Balken a b = x 1, x 2, x 3 .... x n,
wo die Ziffern nur als unterscheidende Coeffizienten angehängt sind, so ist jedes der
Verhältnisse der korrespondirenden Gewichtstheile X 1 : x 1, dann X 2 : x 2, ferner X 3 : x 3 ...
endlich X n : x n dem constanten Verhältnisse [Formel 7] gleich, also sind sie auch unter
einander gleich. Addiren wir diese gleichen Verhältnisse, so ist auch
X 1 + X 2 + X 3 ... + X n : x 1 + x 2 + x 3 ... + x n = [Formel 8] oder weil alle
X zusammen Q und alle x zusammen q geben, Q : q = [Formel 9] d. h. die Ge-
wichte, welche zwei gleichartige, an einem Ende eingemauerte Bal-
ken (ohne Rücksicht auf die Zusammendrückbarkeit der Theile) gleich stark span-
nen, oder abbrechen, verhalten sich wie die Produkte aus den Quer-
schnittsflächen in die Höhen, und verkehrt wie die Längen der
Balken.

§. 284.

Es ist merkwürdig, dass diese Proportion statt findet, wenn auch das Verhältniss,Fig.
12.
in welchem die Kräfte zu ihren Ausdehnungen stehen, nicht bekannt ist. Wir haben
nämlich angenommen, dass die obern Ausdehnungen F D und f d bei gleichartigen Materien
im Augenblicke des Bruches einander gleich sind und haben daraus erwiesen, dass,
wenn die Punkte M und m auf proportionalen Höhen genommen werden, dann auch
die Ausdehnungen M N und m n einander gleich seyn müssen. Ist aber das Letztere der
Fall, so sind auch die Spannkräfte in denselben Punkten einander gleich, sie mögen
nun in was immer für einem Verhältnisse zur Ausdehnung überhaupt stehen; dassel-
be findet aber auch statt, wenn der Balken vom Bruche entfernt, jedoch nur die obern
Ausdehnungen einander gleich sind, und die obigen Proportionen bleiben in jedem
Falle dieselben.

Relative Festigkeit der Körper.

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) in eine Proportion gebracht, gebenFig.
12.
Tab.
14.
S . [Formel 1] : s . [Formel 2] = X . L : x . l oder
S : s = [Formel 3] ...... (VI).

Aus dem Vergleiche der Proportionen (I) und (VI) folgt
[Formel 4] = B . H : b . h oder
X : x = [Formel 5] d. h. die Gewichtstheile X und x, welche
mit den Cohaesionskräften der einzelnen gleichnamigen Bänder im
Gleichgewichte stehen, haben das constante Verhältniss [Formel 6] .
Setzen wir nun, auf dieses gestützt, für das 1te, 2te, 3te .... nte Band die zur
Spannung und zum Gleichgewichte nöthigen Gewichtstheile für den Balken
A B = X 1, X 2, X 3 ..... X n, und eben so für den Balken a b = x 1, x 2, x 3 .... x n,
wo die Ziffern nur als unterscheidende Coeffizienten angehängt sind, so ist jedes der
Verhältnisse der korrespondirenden Gewichtstheile X 1 : x 1, dann X 2 : x 2, ferner X 3 : x 3 …
endlich X n : x n dem constanten Verhältnisse [Formel 7] gleich, also sind sie auch unter
einander gleich. Addiren wir diese gleichen Verhältnisse, so ist auch
X 1 + X 2 + X 3 … + X n : x 1 + x 2 + x 3 … + x n = [Formel 8] oder weil alle
X zusammen Q und alle x zusammen q geben, Q : q = [Formel 9] d. h. die Ge-
wichte, welche zwei gleichartige, an einem Ende eingemauerte Bal-
ken (ohne Rücksicht auf die Zusammendrückbarkeit der Theile) gleich stark span-
nen, oder abbrechen, verhalten sich wie die Produkte aus den Quer-
schnittsflächen in die Höhen, und verkehrt wie die Längen der
Balken.

§. 284.

Es ist merkwürdig, dass diese Proportion statt findet, wenn auch das Verhältniss,Fig.
12.
in welchem die Kräfte zu ihren Ausdehnungen stehen, nicht bekannt ist. Wir haben
nämlich angenommen, dass die obern Ausdehnungen F D und f d bei gleichartigen Materien
im Augenblicke des Bruches einander gleich sind und haben daraus erwiesen, dass,
wenn die Punkte M und m auf proportionalen Höhen genommen werden, dann auch
die Ausdehnungen M N und m n einander gleich seyn müssen. Ist aber das Letztere der
Fall, so sind auch die Spannkräfte in denselben Punkten einander gleich, sie mögen
nun in was immer für einem Verhältnisse zur Ausdehnung überhaupt stehen; dassel-
be findet aber auch statt, wenn der Balken vom Bruche entfernt, jedoch nur die obern
Ausdehnungen einander gleich sind, und die obigen Proportionen bleiben in jedem
Falle dieselben.

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[293/0323] Relative Festigkeit der Körper. Die beiden Gleichungen (IV) und (V) in eine Proportion gebracht, geben S . [FORMEL] : s . [FORMEL] = X . L : x . l oder S : s = [FORMEL] ...... (VI). Fig. 12. Tab. 14. Aus dem Vergleiche der Proportionen (I) und (VI) folgt [FORMEL] = B . H : b . h oder X : x = [FORMEL] d. h. die Gewichtstheile X und x, welche mit den Cohaesionskräften der einzelnen gleichnamigen Bänder im Gleichgewichte stehen, haben das constante Verhältniss [FORMEL]. Setzen wir nun, auf dieses gestützt, für das 1te, 2te, 3te .... nte Band die zur Spannung und zum Gleichgewichte nöthigen Gewichtstheile für den Balken A B = X 1, X 2, X 3 ..... X n, und eben so für den Balken a b = x 1, x 2, x 3 .... x n, wo die Ziffern nur als unterscheidende Coeffizienten angehängt sind, so ist jedes der Verhältnisse der korrespondirenden Gewichtstheile X 1 : x 1, dann X 2 : x 2, ferner X 3 : x 3 … endlich X n : x n dem constanten Verhältnisse [FORMEL] gleich, also sind sie auch unter einander gleich. Addiren wir diese gleichen Verhältnisse, so ist auch X 1 + X 2 + X 3 … + X n : x 1 + x 2 + x 3 … + x n = [FORMEL] oder weil alle X zusammen Q und alle x zusammen q geben, Q : q = [FORMEL] d. h. die Ge- wichte, welche zwei gleichartige, an einem Ende eingemauerte Bal- ken (ohne Rücksicht auf die Zusammendrückbarkeit der Theile) gleich stark span- nen, oder abbrechen, verhalten sich wie die Produkte aus den Quer- schnittsflächen in die Höhen, und verkehrt wie die Längen der Balken. §. 284. Es ist merkwürdig, dass diese Proportion statt findet, wenn auch das Verhältniss, in welchem die Kräfte zu ihren Ausdehnungen stehen, nicht bekannt ist. Wir haben nämlich angenommen, dass die obern Ausdehnungen F D und f d bei gleichartigen Materien im Augenblicke des Bruches einander gleich sind und haben daraus erwiesen, dass, wenn die Punkte M und m auf proportionalen Höhen genommen werden, dann auch die Ausdehnungen M N und m n einander gleich seyn müssen. Ist aber das Letztere der Fall, so sind auch die Spannkräfte in denselben Punkten einander gleich, sie mögen nun in was immer für einem Verhältnisse zur Ausdehnung überhaupt stehen; dassel- be findet aber auch statt, wenn der Balken vom Bruche entfernt, jedoch nur die obern Ausdehnungen einander gleich sind, und die obigen Proportionen bleiben in jedem Falle dieselben. Fig. 12.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 293. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/323>, abgerufen am 28.11.2024.