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Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178.

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64. St., den 23. April 1831.

Nichtreste, und zwar so, daß dem Character 2
zugleich quadratische Reste, den Charactern 1 und
3 hingegen quadratische Nichtreste entsprechen.

Man erkennt leicht, daß es hauptsächlich darauf
ankommt, diesen Character bloß für solche Wer-
the von k bestimmen zu können, die selbst com-
plexe Primzahlen sind, und hier führt sogleich
die Induction zu höchst einfachen Resultaten.

Wird zuerst k = 1 + i gesetzt, so zeigt sich,
daß der Character dieser Zahl allemahl sqrt
1/8 (-- aa + 2ab -- 3bb + 1) (mod. 4) wird, und
ähnliche Ausdrücke finden sich für die Fälle
k = 1 -- i, k = -- 1 + i, k = -- 1 -- i.

Ist hingegen k = a + b i eine solche Primzahl,
wo a ungerade und b gerade ist, so ergibt sich
durch die Induction sehr leicht ein dem Funda-
mentaltheorem für die quadratischen Reste ganz
analoges Reciprocitätsgesetz, welches am einfach-
sten auf folgende Art ausgedrückt werden kann:

Wenn sowohl a + b -- 1 als a + b -- 1 durch
4 theilbar sind (auf welchen Fall alle übrigen
leicht zurückgeführt werden können), und der Cha-
racter der Zahl a + b i in Beziehung auf den
Modulus a + b i durch l, hingegen der Cha-
racter von a + b i in Beziehung auf den Mo-
dulus a + b i durch i bezeichnet wird: so ist
l = i, wenn zugleich eine der Zahlen b, b (oder
beide) durch 4 theilbar ist, hingegen l = i +/- 2,
wenn keine der Zahlen b, b durch 4 theilbar ist.

Diese Theoreme enthalten im Grunde alles
Wesentliche der Theorie der biquadratischen Reste
in sich: so leicht es aber war, sie durch In-
duction zu entdecken, so schwer ist es, strenge
Beweise für sie zu geben, besonders für das
zweyte, das Fundamentaltheorem der biquadra-
tischen Reste. Wegen des großen Umfanges, zu
welchem schon die gegenwärtige Abhandlung an-

64. St., den 23. April 1831.

Nichtreſte, und zwar ſo, daß dem Character 2
zugleich quadratiſche Reſte, den Charactern 1 und
3 hingegen quadratiſche Nichtreſte entſprechen.

Man erkennt leicht, daß es hauptſaͤchlich darauf
ankommt, dieſen Character bloß fuͤr ſolche Wer-
the von k beſtimmen zu koͤnnen, die ſelbſt com-
plexe Primzahlen ſind, und hier fuͤhrt ſogleich
die Induction zu hoͤchſt einfachen Reſultaten.

Wird zuerſt k = 1 + i geſetzt, ſo zeigt ſich,
daß der Character dieſer Zahl allemahl √
⅛ (— aa + 2ab — 3bb + 1) (mod. 4) wird, und
aͤhnliche Ausdruͤcke finden ſich fuͤr die Faͤlle
k = 1 — i, k = — 1 + i, k = — 1 — i.

Iſt hingegen k = α + ϐ i eine ſolche Primzahl,
wo α ungerade und ϐ gerade iſt, ſo ergibt ſich
durch die Induction ſehr leicht ein dem Funda-
mentaltheorem fuͤr die quadratiſchen Reſte ganz
analoges Reciprocitaͤtsgeſetz, welches am einfach-
ſten auf folgende Art ausgedruͤckt werden kann:

Wenn ſowohl α + ϐ — 1 als a + b — 1 durch
4 theilbar ſind (auf welchen Fall alle uͤbrigen
leicht zuruͤckgefuͤhrt werden koͤnnen), und der Cha-
racter der Zahl α + ϐ i in Beziehung auf den
Modulus a + b i durch λ, hingegen der Cha-
racter von a + b i in Beziehung auf den Mo-
dulus α + ϐ i durch ι bezeichnet wird: ſo iſt
λ = ι, wenn zugleich eine der Zahlen ϐ, b (oder
beide) durch 4 theilbar iſt, hingegen λ = ι ± 2,
wenn keine der Zahlen ϐ, b durch 4 theilbar iſt.

Dieſe Theoreme enthalten im Grunde alles
Weſentliche der Theorie der biquadratiſchen Reſte
in ſich: ſo leicht es aber war, ſie durch In-
duction zu entdecken, ſo ſchwer iſt es, ſtrenge
Beweiſe fuͤr ſie zu geben, beſonders fuͤr das
zweyte, das Fundamentaltheorem der biquadra-
tiſchen Reſte. Wegen des großen Umfanges, zu
welchem ſchon die gegenwaͤrtige Abhandlung an-

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[531[631]/0014] 64. St., den 23. April 1831. Nichtreſte, und zwar ſo, daß dem Character 2 zugleich quadratiſche Reſte, den Charactern 1 und 3 hingegen quadratiſche Nichtreſte entſprechen. Man erkennt leicht, daß es hauptſaͤchlich darauf ankommt, dieſen Character bloß fuͤr ſolche Wer- the von k beſtimmen zu koͤnnen, die ſelbſt com- plexe Primzahlen ſind, und hier fuͤhrt ſogleich die Induction zu hoͤchſt einfachen Reſultaten. Wird zuerſt k = 1 + i geſetzt, ſo zeigt ſich, daß der Character dieſer Zahl allemahl √ ⅛ (— aa + 2ab — 3bb + 1) (mod. 4) wird, und aͤhnliche Ausdruͤcke finden ſich fuͤr die Faͤlle k = 1 — i, k = — 1 + i, k = — 1 — i. Iſt hingegen k = α + ϐ i eine ſolche Primzahl, wo α ungerade und ϐ gerade iſt, ſo ergibt ſich durch die Induction ſehr leicht ein dem Funda- mentaltheorem fuͤr die quadratiſchen Reſte ganz analoges Reciprocitaͤtsgeſetz, welches am einfach- ſten auf folgende Art ausgedruͤckt werden kann: Wenn ſowohl α + ϐ — 1 als a + b — 1 durch 4 theilbar ſind (auf welchen Fall alle uͤbrigen leicht zuruͤckgefuͤhrt werden koͤnnen), und der Cha- racter der Zahl α + ϐ i in Beziehung auf den Modulus a + b i durch λ, hingegen der Cha- racter von a + b i in Beziehung auf den Mo- dulus α + ϐ i durch ι bezeichnet wird: ſo iſt λ = ι, wenn zugleich eine der Zahlen ϐ, b (oder beide) durch 4 theilbar iſt, hingegen λ = ι ± 2, wenn keine der Zahlen ϐ, b durch 4 theilbar iſt. Dieſe Theoreme enthalten im Grunde alles Weſentliche der Theorie der biquadratiſchen Reſte in ſich: ſo leicht es aber war, ſie durch In- duction zu entdecken, ſo ſchwer iſt es, ſtrenge Beweiſe fuͤr ſie zu geben, beſonders fuͤr das zweyte, das Fundamentaltheorem der biquadra- tiſchen Reſte. Wegen des großen Umfanges, zu welchem ſchon die gegenwaͤrtige Abhandlung an-

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Zitationshilfe:	Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178, hier S. 531[631]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_theoria_1831/14>, abgerufen am 03.12.2024.

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